第02课常用逻辑用语（学案）（原卷版）

第02课常用逻辑用语2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.一、【考点逐点突破】【考点1】若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.【典例】已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}.命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围.【考点2】若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件.【典例】(多选)若x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是()A．1B．2C．3D．4【考点3】若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件.【典例】已知p：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点4】若p⇔q，则p是q的充要条件.【典例】已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．【考点5】若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.【典例】(多选)已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件【考点6】设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若p是q的充分条件，则A⊆B.【典例】(多选)下列说法正确的是()A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B．“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件【考点7】设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若p是q的充分不必要条件，则A≠⊂【典例】已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥－eq\f(2,3)”是“∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【考点8】设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若p是q的必要不充分条件，则B≠⊂A.【典例】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)【考点9】设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．若p是q的充要条件，则A＝B.【典例】已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．【考点10】全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.【典例】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在实数x，平方为8C．所有菱形的四条边都相等D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立【考点11】存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.【典例】下列命题中是存在量词命题的是()A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等【考点12】全称量词命题:对M中的任意一个x，有p(x)成立.简记:∀x∈M，p(x),否定:∃x∈M，¬p【典例】(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0【考点13】存在量词命题:存在M中的元素x，p(x)成立,简记:∃x∈M，p(x),否定:∀x∈M，¬px【典例】已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为()A．∃x0∈R，－x0－1≥0B．∃x0∈R，－x0－1>0C．∀x∈R，ex－x－1>0D．∀x∈R，ex－x－1≥0【考点14】区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.【典例】若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．【考点15】含量词命题求参数【典例】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．二、【考点教材拓广】【典例1】【教材23页第6题】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么a2+b2【典例2】【教材30页第6题】在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.

在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题.例如:

①茬x>1,则2x+1>5;(假命题)

②若四边形为等腰梯形,命题①②都是省略了量词的全称量词命题.

(1)有人认为,①的否定是“若x>1,则2x+1≤5”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定.

(2)请你列举几个“若p,则q【典例3】【教材35页12题】根据下述事实,分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题:

(1)1=12,

1+3=22,

......

(第12(2)题)

(2)如图,在△ABC中,AD,BE与CF分别为BC,AC与AB边上的高,则AD,BE与三、【考点真题回归】【典例1】【2022浙江】设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】【2022北京】设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【典例3】【2021全国甲卷理】等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：SnA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【典例4】【2016浙江】命题“∀x∈R，∃n∈N*A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2【典例5】【2016山东】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【典例6】【2016天津】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件【典例7】【2015天津】设x∈R，则“x-2<1”是“x2+x-2>0（A）充分而不必要条件