集合的概念导学案

集合的概念（导学案）【学习目标】1、通过实例了解集合的含义．(难点)2、掌握集合中元素的三个特性．(重点)3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示4、记住常用数集及其记法．(重点、易混点)【自主学习】一．元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把统称为元素，常用小写的拉丁字母表示．2.集合：一些组成的总体，简称，常用大写拉丁字母表示．3.集合相等：指构成两个集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．1.研究对象a，b，c…2.元素集A，B，C…3.一样4.确定性互异性无序性注意：(1)确定性：集合元素必须是确定的。不能确定的对象不能组成集合。(2)互异性：给定一个集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的对象归入同一个集合时，只能算集合中的一个元素。(3)无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。二．元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说，记作.2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说，记作.1.a属于集合Aa∈A2.a不属于集合Aa∉A三．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR四．列举法把集合的元素出来，并用括起来表示集合的方法叫做列举法．一一列举花括号“{}”思考1：列举法的特点有哪些?集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.[问题1]如何表示方程x23x+2=0的所有解组成的集合?[问题2]关于x的方程(x1)(xa)=0有几个解?它的所有解组成的集合如何表示?[问题3]1与｛1｝是否具有相同的意义?[问题4]能否用列举法来表示无限集?五、描述法（1）定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.（1）共同特征（2）一般符号取值(或变化)范围共同特征思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2){x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.(2)相同，只是代表元素的符号不同，但是元素相同.．思考3：描述法的特点有哪些?运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.【当堂达标基础练】一、单选题1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（

）A．某班视力较好的同学 B．长寿的人C．的近似值 D．倒数等于它本身的数【答案】D【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和1，故可以构成集合；故选：D.，则集合中元素的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据，所以可取，即可得解.【详解】由集合，，根据，所以，所以中元素的个数是3.故选：C3．由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合元素的互异性即可求解.【详解】由元素的互异性可得，解得且且.故选：C.4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据数集的定义，即可得答案；【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.二、多选题5．已知集合，，则为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得的值.【详解】依题意，当时，或，若，则，符合题意；若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.当时，或，若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.若，则，符合题意.综上所述，的值为或.故选：BC6．下列关系中，正确的是（

）A． B．QC．－3∈N D．∈Z【答案】AB【分析】根据常见数集的范围,直接判断.【详解】根据常见数集的范围：，故A正确；不是有理数，所以Q.故B正确；N为自然数集合，所以－3N.故C错误；为无限不循环小数，所以.故D错误.故选：AB三、填空题7．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______【答案】【分析】分和两种情况保证方程只有一个解或重根，求出a的值即可．【详解】当时，只有一个解，则集合有且只有一个元素，符合题意；当时，若集合A中只有一个元素，则一元二次方程有二重根，即，即综上，或，故实数a的取值的集合为故答案为：8．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：（1）______N；

（2）1______；

（3）______R；（4）______；

（5）______N；

（6）0______．【答案】

【分析】根据元素与集合的关系判断.【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.四、解答题9．用列举法表示下列集合：(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；(2)方程组的解集．【答案】(1){红色，黄色}；(2).【分析】利用集合的列举法的概念即得.(1)组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}；(2)由，解得，故方程组的解集为.10．用描述法表示下列集合：(1)奇数组成的集合；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．【答案】(1)；(2).【分析】利用集合的描述法即得.(1)奇数组成的集合为；(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.11．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．【答案】B＝{0，7，3，1}．【分析】解方程即得解.【详解】解：由题得，解得或.因为，所以.当时，B＝{0，7，3，1}.故集合B＝{0，7，3，1}．【当堂达标提升练】一、单选题1．已知集合，且，则实数m的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【分析】依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A2．方程的所有实数根组成的集合为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C二、填空题A包含3和－1两个元素，集合B包含和－1两个元素，且，则实数______．【答案】3或1解析：由题意，或m=1.故答案为：3或1.4．（2022秋•石景山区期末）设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}为幸运集；②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集；③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P．其中正确结论的序号是②④．【分析】直接利用幸运集的定义和赋值法判定①②③④四个结论．【解答】解：P为非空实数集满足：对任意给定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．对于①，由于﹣2﹣2＝﹣4∉A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不为幸运集，故①错误；对于②，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}为幸运集，故②正确；对于③，若集合P1、P2为幸运集，设P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}为幸运集，但是P1∪P2不为幸运集，故③错误；对于④，若集合P为幸运集，取x＝y，x﹣y＝0∈P，则一定有0∈P，故④正确．故答案为：②④．【点评】本题考查集合的新定义，注意运用赋值法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题5.选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(2)所有正奇数组成的集合B；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．5.解：(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．6.用列举法表示如图中阴影部分的点(含边界)的集合；6.解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.【当堂达标素养练】.(1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的