2023-2024学年北京四中高三（上）开学数学试卷（含解析）

里程碑上苏州码子"计数方式如下里程碑上苏州码子"计数方式如下：/⑴、〃(2)、〃/(3)、共4)、7(5)、土6)、土(7)、兰(8)、夕<9)、役(0).为了防止混淆，有时要将“/"“〃”“///”横过来写.己知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“///X",在B点处里程碑刻着“夕//”，则从4点到B点里程碑的个数应为()A.29B.30C.58D.598.在4ABC中，若车=端，则△ABC%()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形己知函数气若对于任意正数A,关于*的方程f(x)=k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数。的个数为()A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=7nx(zn>0)与曲线y=/从左至右依次交于4,B.C三点.若直线Z：kx—y+3=0(k€R)上存在点P满足\PA+PC\=2,则实数A的取值范围是()A.(-2,2)B.[一2/1,2/1]C.(-00,-2)U(2,+oo)D.(一8,-2后]U[2C,4-oo)二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若复数z满足z=*则z的虚部为.l+i12.己知|研=1,|日|=6,办(片一力=2，则向量涉与向量片的夹角是.13.角a的终边与单位圆的交点4位于第一象限，其横坐标为普那么sina=,点4沿单位圆逆时针运动到点B,所经过的弧长为普，则点B的横坐标为14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为P,其准线与双曲线孕一#=1相交于4,B两点，若44BF为等边三角形，贝帅=.15.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,AAX=AD=1,动点、E,F分别在线段A8和CCi上.给出下列四个结论：①G-DEF=J5②②ΔOiEP不可能是等边三角形：③当DXE1DF时，OiF=EF；④至少存在两组E,F,使得三棱锥D.-DEF的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题14.0分)如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，3BC=60。，对角^AA^C是矩形,且平面AA^C1平面4BCD.(I)证明：侧棱A4i1平面曲CD；(II)设ACC\BD=0,若AB=AAlf求二面角O％—C】的余弦值.已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为Q,bfc,b=acosC+>J~3csinA-(1)求角A的大小；(2)从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ΔABC的面积.条件①：Q=7,b=8条件②：sinB=；,a=7条件③：a=c=8注：如果选择的条件不符合要求.第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务，赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服(I)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率:(II)己知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是法，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X)；(III)己知在2.7万名志愿者中，18〜35岁人群占比达到95%,为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18-35岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为Po,去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为Pi，试比较po与％的大小.(结论不要求证明)设函数/(X)=k>0.(1)求/•(》)的单调区间和极值；(2)证明：若/Xx)存在零点，贝ijf(x)在区间(1,"］上仅有一个零点.已知椭圆C：W+W=l(a>0,b>0)的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).(I)求椭圆C的方程；(II)设。为原点，直线心y=kx+t(t^±1)与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线4P与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若\0M\-\0N\=2,求证：直线［经过定点.正实数构成的集合4=［alta2,—,an)(n>2),定义4GM={印•印囱•，印EA,且i力/}.当集合中的元素恰有牛12个数时，称集合A具有性质。(II)若集合人具有性质。且为中所有元素能构成等比数列，刀⑥人中所有元素也能构成等比数列，求集合4中的元素个数的最大值；(III)若集合A具有性质。，且4®A中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【解析【解析】解：有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生包含的基本事件个数m=g=24,其中恰好有1名男生的概率是P=竺=食=来.故选：A.基本事件总数n=C%=45,其中恰好有1名男生包含的基本事件个数m=C；q=24,由此能求出其中恰好有1名男生的概率.本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题.解题时根据图象和导数的几何意义即可判断.【解答】解：由图象可知，当x>0时，函数的增长越来越快，广⑴与广⑵分别代表在x=1,x=2处的切线的斜率，即((2)>((1),...件〈⑴=a,Q表示(1/(1))，(2/(2))两点连线的斜率，广⑴VQV广(2),故选B.【解析】解：对于①直线力不相交=直线q,b异面或平行，故①错；对于②,直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故②正确；对于③,Q平行于b所在的平面=Q//b或。与b异面，故③错；对于④,直线内的一条直线扩’=“Q平行于力所在平面或。含于b所在平面”，直线。〃平面an直线。平行于。内的一条直线，所以“直线Q平行于a内的一条直线"是“直线。〃平面的必要而不充分条件，故④正确，所以正确选项为：②④.故选：C.利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论.本题考查直线与直线间的位置关系及性质；的定义得结论.本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断.【解析】【分析】本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题.根据苏州码子”计数方式先求出4,B两点处距离始发车站的里程，再根据每隔2公里摆放一个里程碑，即可求出结果.【解答】解：由苏州码子”计数方式可知4点处里程碑上的“///▼'表示34公里，B点处里程碑上的“夕•//”表示92公里，所以从4点到B点里程碑的个数应为92-34口+2+1=30（个故选：B.【解析】解：端，由正弦定理得四1=判，即零=判，又-A,B为三角形内角，2A=2B或24+2B=180°即A=B或A+B=90°,ABC是等腰三角形或直角三角形，故选：D.由正弦定理得绰=判，求得sinAcosA=sinBcosB,进而可知sin2A=sin2B,又因为A,B为三角形内角，所以2A=28或24+2B=180。即X=B或A+B=90°,最后判断出三角形的形状.本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理、诱导公式的应用.注意对通过边角问题的变化来解决解三角形问题.【解析】【分析】要满足条件，需在X=a要满足条件，需在X=a处相接，Ry=x2-ax+2在％=：处的函数值为0,则"2q2>无解；本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题.分情况讨论，并作出大致图象，由图象结合题意分析即可得解.【解答】解：函数y=|x+Q|的图象形状大致如下，①当q>0时，要使/'(x)=k有两个不相等的实数根，即/Xx)的图象与直线y=k有两个交点，如②当Q<0时，如图,当y=x2-ax+2的对称轴x=号在x=q的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时(3-T+2=°③当a=0时，/显然不合题意；综上，满足条件的Q有1个.故选：B.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.根据奇函数对称性得出4,C关于原点对称，于是|PB|=1,即P为单位圆x2+y2=l上的点.从而将问题转化为直线Z与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k的范围.即p2即p2=3(3+%),解得p=6.故答案为：6.15.【答案】①②④【解析】解：由题意，长方体中，E到平面CC]D】D的距离为1,F到边如】的距离为2,Kdj-DEF=Kp-DDiF=§xlx成xlx2=§,故(J)正确；由图可知，DiF的最小值为2,若D1E=2,则DE=VDrE2-DrD2=V22-I2=>/~3^...AE=VDE2一AD2=V3-1=若此时EF=2,则EC=EF2-CXC2=V4-1=C，...BE=VEC2一BC2=V3-1=<7，则AE+BE=2yT2>AB=2承即D】F取最小值为2时，EF不能同时取得2,当DiF变大时，D]F、EF不可能同时大于2,...ΔD[EF不可能是等边三角形，故②正确；以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，贝IJD(OAO),»i(0,0,l),设E(l,m,0),(0<m<2),F(0,2,n),(0<n<1),D]E=(1,m,—1)»=(0,2,n)〉由DiElDF,可得砂诙=2m-7i=0，•.•nn2m,DrF=J4+(i-1)2=J4+(2zn—1)2=>J4m2—4m+5»EF=yj14-(m—2)24-n2由题意得DiF与EF不恒相等，只有m=n=0时才成立，故③错误；当E承JAB中点，P与C重合时，如图，此时，D此时，DXDIDE,DtD1DC,.:DE=EC=>T1，DC=2,DE〉+EC2=DC2,DELEC,DXE=y/~l,EC=>n,DiC=<3，D/2+EC2=D^2,•••1EC,三棱锥Di—DEF的四个面均为直角三角形，当E与B重合，F与。重合时，如图，由题意得DiDIDB,DiDlDC,CB1DC,CB1D〔C,.•三棱锥-DEF的四个面均为直角三角形，综上，至少存在两组E,F,使得三棱锥Di—DEF的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④.根据长方体的特征，利用等体积法确定①;根据特征情况分析三角形边长可判断②;利用向量法可判断③;根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.本题考查长方体的特征、等体积法、向量法可、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16.【答案】(1)证明：•••平面AAiCiC是矩形，又平面AAiGCl平面ABCD,平面&4iC〔Cn平面4BCD=AC,&4】u平面刀唇。，.••441上平面4BCD；(2)解：•••平面ABCD是菱形，.••AC1BD,以。为原点，以。8,0C所在直线为x轴，y轴，建系如图，(X2(2,会),E(X)=2x^=(X2(2,会),E(X)=2x^=9(【II)由己知得志愿者支持方案的概率估计值记为Po=90常；+4=翠，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为P1=器=翌>凛,故Po<P1-【解析】(I)根据古典概型的计算公式直接计算；(II)分别计算概率并列出分布列，并求期望；(III)根据古典概型计算公式分别计算Po与P1，并比较大小.本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19.【答案】解：(1)由f(x)=§-kbix(k>0)X的数学期望£(X)=OX端+lx会+2X佥=§+由f'(X)=0解得》=y/~k/•(〃与尸(乂)在区间(0,+8)上的情况如下:X(0,<r)尸3)—f(x)X02(/X+8),单调递减区间为(0,0)；/(X)在X=代处的极小值为/'(/T)=虹郁*),无极大值.(2)证明：由⑴知，『3)在区间(0,+8)上的最小值为f(E)=因为/*3)存在零点，所以咛些wo,从而k>e当A=e时，f(x)在区间(lfV~e)上单调递减，且f(")=0所以x="是f(x)在区间(1,0上唯一零点.当k>e时，/■(>)在区间(0,后)上单调递减，且/•⑴=§>04(")=学<0,XP081100XP081100195021100k%i%2+k(t—1)(%1+%2)+(1—1)2*-2=1好.里N+轮__1)•(--^)+"•l+2/c21+2k2Xl%2又|0M||0N|=2,所以2|告|=2.解得1=0,所以直线/经过定点(0,0).【解析】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于拔高题.(I)由题意可得b=c=l,由q,b,c的关系，可得Q,进而得到所求椭圆方程;所以/'(x)在区间(1,0上仅有一个零点.综上所述，若f(x)存在零点,则/'3)在区间(1,"］上仅有一个零点.【解析】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型.(1)利用尸3)>0或/•'(》)<0求得函数的单调区间并能求出极值；(2)利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况.20.【答案】解：(I)椭圆C：4+4=1的右焦点为(1,0)在*轴上，且经过点4(0,1)，可得b=c=1,a=Vb2+c2=a/--2»则椭圆方程为#+y2=i；则直线4P的方程为y=+1.令y=0,得点Af的横坐标又％=kXi+t,从而|0M|=\XM\=|虹苦同理，伽1=|击|.由+yi得,(1+2k