第03讲等比数列（原卷版）

第03讲等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．定义的表达式：＝q(n∈N*，n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．2．等比数列的通项公式an＝a1·qn－1=am·qn－m．3．等比中项若a，b，c成等比数列，则b2=a·c．b是a与c的等比中项.4．等比数列的下标和公式若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.5．等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))6．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．一．等比数列基本量的运算例1．（1）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3（2）等比数列是递增数列，若，，则公比为（

）A． B． C．或 D．或（3）已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C．3 D．9（4）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（

）A． B．C．或1 D．或1（5）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1（6）在等比数列中，，且为和的等差中项，则______．【复习指导】：(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二．等比数列的判定与证明例2．（1）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(=1\*romani)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(=2\*romanii)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求{an}的通项公式．（2）已知数列满足：.(=1\*romani)求证：数列是等比数列；(=2\*romanii)求数列的通项公式及其前项和的表达式.（3）记为数列的前n项和，已知，，且．(=1\*romani)证明：为等比数列；(=2\*romanii)求数列的通项公式及前n项和．【复习指导】：等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．三．等比数列性质的应用命题点1等比数列项的性质例3．（1）已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2aeq\o\al(2,4)＝π，则tan(a3·a5)等于()A．eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．±eq\r(3)（2）(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32（3）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．4（4）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A．B．1011C．D．1012（5）在等比数列中，，则的值为（

）A．48 B．72 C．144 D．192【复习指导】：(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．命题点2等比数列和的性质例4．（1）等比数列的前项和为，，，则为（

）A． B． C． D．或（2）已知各项均为正数的等比数列，，则（

）A．60 B．10 C．15 D．20（3）等比数列的前项和是,且,若,则（）A． B． C． D．（4）正项等比数列的前项和为，，，则等于（）A．90B．50C．40D．30【复习指导】：等差/等比数列的前n项和性质(1)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．四．等比数列的函数特性例5．（1）在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分又不必要（2）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．（3）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为（4）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（

）A． B．是数列中的最大值C． D．数列无最大值【复习指导】：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．1．已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．2 B．54 C．162 D．2432．设是等比数列，且，则（

）A．8 B．12 C．16 D．243．等比数列中，若，则公比为（

）A．1 B．－2 C．2 D．2或－24．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（

）A．2 B．3 C．4 D．95．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．21 B．81 C．243 D．7296．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．5 B．10 C．4 D．7．正项等比数列的前n项和为，若，，则（

）．A．8 B．16 C．27 D．818．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A． B．43 C． D．419．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．4010．已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列前10项和为（

）A．58 B．56 C．50 D．4511．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．在等比数列中，，，则（

）A．2 B． C．2或 D．或13．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（

）A． B． C．48 D．9614．设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．715．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，则S3等于()A．eq\f(26,9)B．eq\f(13,3)C．eq\f(13,9)D．616．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()A．198里B．191里C．63里D．48里17．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于()A．2B．3C．4D．518．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则19．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．20．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．421．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．622．在正项等比数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．23．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（

）A．B．C．D．24．已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（）A．8 B．4 C．2 D．125．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、项和为，且，则（

）A． B． C． D．26．设等比数列满足，，则的最大值为（

）A．32 B．16 C．128 D．6427．若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．28．已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．29．（多选）记为等比数列的前项和，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．成等比数列 D．成等比数列30．（多选）已知数列，其前项和为．则下列结论正确的是（

）A．若数列是等差数列，则是等差数列B．若数列是等比数列，则是等比数列C．若数列是等差数列，则是等差数列D．若数列是等比数列，则是等比数列31．（多选）已知数列满足（其中，q为非零常数，），则下列说法正确的是（

）A．若，则不是等比数列 B．若，则既是等差数列，也是等比数列C．若，则是递减数列 D．若是递增数列，则32．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等差数列C． D．33．记Sn为等比数列{an}的前n，则S4=___________．34．已知等比数列中，，，则___________.35．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.36．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为______．37．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．38．在等比数列{}中，若，则当……取得最大值时，n=___________.39．已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.40．已知为等比数列．(1)若，，求(2)若，求的值．41．已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．42．已知数列的前n项和，证明是等比数列，并求出通项公式．43．已知数列{an}，{cn}满足cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由．44．已知等比数列的公比，且依次成等差数列．(1)求；(2)设，求数列的前项和．45．设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的