修改版由一道解析几何题谈学生的思维发散(完整版)

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[修改版]由一道解析几何题谈学生的思维发散（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）由一道解析几何题谈学生的思维发散洪江市黔阳一中贺玖平解析几何顾名思义是由解析（代数）和几何两个部分组成，它的实质就是把抽象的数和具体的形整合在一起，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易，“脑中有图象，直观又形象”。这样在解解析几何题目时，我们可以从代数和几何两个角度去思考问题。在学习和教学中培养发散性思维,有助于开拓人的视野,从而激发创新能力。多视角对同一个解析几何问题进行分析和解决,对类似问题的解决富有启发性。高中数学由于语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识的连贯性和系统性强，致使数学这门学科成为学习的瓶颈，究其原因主要是因为这些学生没有掌握好常用的数学思想和数学。方法下面我以一道例题的解法谈谈我在教学中对数学思想和方法的具体运用。xyAOxyAOBCM解：方法一：（参数法）设过点A的直线交圆O于B，C，当弦垂直于x轴时，易知M点即为A点（1，0）当弦垂直于y轴时，易知M点即为O点（0，0）当弦BC不垂直于坐标轴时，设M点的坐标为设直线AB的方程为y=k(x-1)设BC。联立圆0：消去y得：由韦达定理可得：又因为M是弦BC的中点，由中点公式可得：消去参数k可得到：即经检验当M点位于A点和O点时也满足于上述方程。所以所求M点轨迹方程为这种解法的优点是思路比较自然，缺点是代数变换的繁琐、冗长，需要较强的运算能力。解题过程中，许多学生都是因为不能顺利进行代数变换而导致失败。所以作为老师，为了使学生把握解析几何的基本思想，在教学中一定要注意控制代数变换的难度和技巧。同学们在用这种方法解完题目时终于有一种如释重负的感觉，因为它的计算量实在是比较大，完成它是一件不容易的事，并因此对它此产生了敬畏之心。似乎就觉得眼前有一座不可逾越的大山，总认为自己力不从心，技不如人，没有攻克堡垒的能力和信心。我就马上予以引导：解这道题还有没有其他的思路和方法？把注意力集中到直线OM与直线AM的斜率的关系上，看当M运动时会不会影响这种关系？方法二：代数法设过点A的直线交圆O于B，C，当弦垂直于x轴时，易知M点即为A点（1，0）当弦垂直于y轴时，易知M点即为O点（0，0）当弦BC不垂直于坐标轴时，设M点的坐标为由题意可知：xyAOBCxyAOBCM即即经检验当M点位于A点和O点时也满足于上述方程。所以所求M点轨迹方程为方法一是从整体来思考中点M的轨迹，方法二是由整体转化到局部，揪住直线OM与直线AM的斜率之间的内在联系，形中觅数，体现了解析几何的数形结合思想。但需要敏锐的观察力，不少学生一旦思维受阻，破题无门，就会烦躁不安，心慌意乱，做为老师要善于发现，并予以引导。学生做到这里已经有了惊叹和喜悦，与方法一对比起来，原来它是可以这么容易的，与前面沉重的心情相比，现在是轻松而舒畅的，觉得自己有无限的热情和巨大的干劲。也初步激发了学生探究数学的兴趣。正在同学们高兴和感叹的时候，我又说：请同学们仔细观察不论M怎样运动△OAM都是什么三角形？有了前面的经验，学生能够马上回答出是直角三角形。我又问：直角三角形有什么样的性质？在本题中又如何表示？方法三：（几何法）设过点A的直线交圆O于B，C，当弦垂直于x轴时，易知M点即为A点（1，0）当弦垂直于y轴时，易知M点即为O点（0，0）当弦BC不垂直于坐标轴时，设M点的坐标为xyxyAOBCM直线OM垂直直线BC，所以△ABC是直角三角形，所以就有：即即即经检验当M点位于A点和O点时也满足于上述方程。所以所求M点轨迹方程为题目做到这里，很多学生正在下面懊悔的反问自己：为什么我当时没有想到？这句话表明了很多同学认为自己是可以想到这个突破口的。真是山重水复疑无路，柳暗花明又一村。从方法二到方法三是由代数法向几何法的转变，而学生的心理则是从兴趣的激发到信心的建立！方法三与方法二相比较，方法三更加简洁直白，可以直接得出M的轨迹方程，如水到渠成，一切都是那么的自然。体现了几何法的优势，体现了数形结合的优越性。也从数中构形和形中觅数中尝到了甜头。至此学生心理已经是豁然开朗：开始相互讨论，还有没有其他的解题方法？渐渐的就发现，不管M如何运动，∠OMA始终是直角，而点O和点A是定点，那么动点M的轨迹会是什么呢？联系圆的定义，可知M在以AO为直径的圆上运动，从而得出方程。方法四：（定义法）设过点A的直线交圆O于B，C，当弦垂直于x轴时，易知M点即为A点（1，0）当弦垂直于y轴时，易知M点即为O点（0，0）xyAxyAOBCM如图，由垂径定理可知：直线OM垂直直线BC，所以动角始终是直角，联系定义：直径所对的圆周角是直角可知：M在以OA为直径的圆周上运动，可以直接写出M的轨迹方程：经检验当M点位于A点和O点时也满足于上述方程。所以所求M点轨迹方程为通过一题多解，学生的思维如泉涌动，特别是这四种方法，一种比一种优越，一种比一种简洁明了，一种比一种直观形象。解这样的题目学生已经不再觉得是在做作业了，而是觉得这是一种精神需要和心理需求，学生学习数学的兴趣已经充分调动，学生学好数学的信心已经完全建立，学生的思维已经得到全面发散。通过一题多解，我觉得在解析几何部分，要强调“先行组织者”的使用。认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图”，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”。所以，在解题时，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重从代数和几何多角度思路的引导。实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学。解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但教学中要注意代数与几何的相互为用。实际上，首先应该明确面临的几何问题是什么，然后才能用代数方法研究之。所以，教学中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路，不要忽视“几何要素的分析”这一环。实际上就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系。如果过多地把注意力集中在代数角度研究，虽然能达到细致入微的境界，但没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质。所以，教学中适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的。比如以下两作业。1如果实数x,y满足，则的最大值为（）BCD2.已知x,y满足，求y-3x的最大值和最小值。学生在第一题中可以发现：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆。圆心为（2，0），半径（如图）而则表示圆上的点（x,y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此以来，该问题就可转化为如下问题：动点A在以（2，0）为圆心，以为直径的圆上运动，求直线OA的斜率的最大值，由图可知，最大值为tan=而第二题：对于二元函数y-3x在限定条件下求最值问题，常用构造直线的截距的方法来求，令y-3x=b则y=3x+b,则b表示直线在y轴上的截距最大或最小。由图形可知，当直线