材料力学课件10能量法

能量法弹性变形势能的计算虚位移原理用于变形固体单位载荷法计算莫尔积分的图乘法互等定理势能驻值原理和最小势能原理弹性变形势能的计算

⒈弹性变形能：简称变形能、应变能。用U表示。量纲：[力][长度]单位：焦耳，1J=1N•m⒉比能：ｕ，单位体积的变形能（变形能密度）。⒊功能原理：静载（动能及其它能量变化均略去）

U=W（外力所做的功等于弹性体内存储的变形能）或力——线位移力偶——角位移——功能原理其中力和位移都是广义的根据功能原理，外力P在位移上做功W，等于构件内存储的变形能U，即杆件变形能的计算：PP对线性系统基本变形杆件变形能的计算1。轴向拉压dxFNFN2。弯曲d

dxMM3。扭转d

dxTT组合变形构件的变形能计算多个不同的杆段li，组合变形状态，则总变形能为变形能的性质•恒为正值•是广义力或广义位移的二次函数（对于线性系统而言）•单一杆件上,同一种变形的变形能不可叠加•在小变形条件下，不同种类变形对应的应变能不会交叉引起，因此可以叠加。变形比能（应变能密度）的计算比能：定义为单位体积存储的变形能单元体体积单元体应变能为在杆件中均匀分布应变能及比能的计算⒈基本变形件的应变能和比能。

在轴中分布不均匀轴向拉（压）比能u

杆件变形能U基本变形圆轴扭转弯曲纯弯曲在梁中分布不均匀剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相对应的应变能。剪切应变能为K是无量纲系数，与截面形状，尺寸有关：

但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可略去不计。应变能的计算，不能用叠加原理。习题16.1试判断应变能的下列叠加形式是否正确。)(b)(e应变能的叠加16.2杆件受力如图，EA为常量，下面两种对变形能的计算是否正确？解1：解2：⒉复杂应力状态下应变比能由主应力，主应变表示。⒊体变比能和形变比能（1）体变比能=+

图(b)单元体由于3个主应力相等，只发生体积改变，其应变比能就是单元体

体变比能。图中（a）（b）（c）——平均应力（2）图（c）单元体的应变比能是图（a）的比能减去体变比能（即为形变比能）：（3）体变比能与形变比能关系：比较可知=+ABP例:利用功能原理求B截面位移vB

。应变能：外力功：

注：直接用功能原理，只能解决结构受单个载荷作用时求载荷作用处对应的位移。求：简支梁中点C的挠度fC解：外力功变形能xM(x)根据功能原理，PACBfC虚位移原理用于变形固体

虚位移原理用于变形固体对由弹簧连接的刚体系统或变形体中虚位移原理表达式为此处的内力虚功指内力在相应的变形虚位移上作的功。16.2.2内力虚功的表达式对这一微段而言原内力都应看作“外力”，这个微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移。刚体虚位移：该微段因其它各微段的变形而引起的虚位移（将该段视为刚体）变形虚位移：该微段本身变形引起的虚位移，由任何原因引起的，只要满足是小变形及变形协调条件。可分解为对于刚体虚位移所做的总虚功=0∴只需考虑“外力”在变形虚位移上所作的虚功。由得该微段内力虚功为：∴整个结构的内力虚功为：

略去高阶无穷小，得该阶段的“外力”虚功为式中：作用在结构上的原力系中的广义力：沿作用方向的广义虚位移

即用于变形固体的虚位移原理可具体表达为：若横截面上还有扭矩，则应加一项：注：虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，材料的应力应变关系可以非线性。规定的符号与相应的指向或转向一致者为正。单位载荷法

单位载荷法（又称莫尔积分法）

aaK(a)aa1内力：(b)要求（a）中任一点K，沿任意方向的位移：⒈取同样的梁，只在K点沿方向作用单位（b）⒉考虑(b)梁，将单位力看作实际载荷，将(a)中位移作为虚位移，则：注:⒈若要求某点角位移，则应施加单位力偶。若要求两点间相对线位移，则应在两点处同时施加一对方向相反的单位力.

若要求两点间的相对角位移，则应在两点同时施加一对方向相反的单位力偶。一般情况下，求结构中一点位移：⒉左端是的缩写，若求出为“+”说明单位

力作功为“+”，也就是所求的位移与单位力方向相同。

⒊第三项常可略去不计。若，FS引起的B处挠度仅为M引起的挠度的1%。AB例：4．以弯曲为主的杆件，只记右端第二项。对于扭转，只记右端第四项。只轴向拉压，只记右端第一项，且若FN为常量。（桁架）单位载荷法用于线弹性结构

若材料线弹性，服从胡克定律注：1）对平面刚架和曲杆，截面上通常有：

FN、FS、M，除了FS可以略去不计。轴力FN的影响也比M小的多。因此只按刚架上某段有M和N同时存在，FN可略去不计。

∴所以常称为莫尔定理或莫尔积分。推广：对截面高度<<轴线曲率半径的平面曲杆也适用2）对桁架，例16.1已知：AD=DB=BC=a

，抗弯刚度EI。求：C截面垂直位移vC。ADBC

解：1.求支反力AD段（）DB段（）

2.分段列M方程。ADBCBC段（）（结果为“+”，说明与单位力方向一致，即向下）3.计算

.q作用下任一截面上例16.2求A,B之间相对位移jBA

.单位力作用下11§16.4计算莫尔积分的图乘法)对等直杆可采用图乘法计算。∴∴是阴影部分面积对y轴静矩图:直线（或折线、分段折线）图:形状任意，面积为

注1）对扭矩项或轴力项也得类似公式

2）常用图形的面积和形心见书P4021．与在同一侧时，互乘结果为“+”。2．为折线时，转折点处要将，图分段分别图乘，再按代数值叠加。图乘法注意事项：∴3．有变化时，需分段图乘，再叠加。4．图的面积及形心不好求时，可将图划分为几个简单部分，分别图乘，再叠加。5．当梁上载荷较复杂时，为避免绘出的图及不好找，可令每种载荷单独作用在梁上，绘图，再放在一起。6．同一杆件，同种类型的内力图才能互乘。

双向弯曲的梁，同一平面内的图和图才能互乘。

7．当图及图均为直线段时，谁取均可。例16.4用图乘法求C截面挠度CC对直梁和刚架，图乘法比积分法要简单方便。例16.5求中间铰两侧截面的相对转角。11例16.10求C处的线位移。ABCyzxT图M图求，则应在C处沿x方向加单位力。（弯矩不在一个平面内）求：在C处沿y方向加单位力。求：在C处沿z向加单位力。思考：若想求桁架杆1的转角（杆1长l）,如何加单位反力？1.在杆上加一单位力偶2.施加位置应在1杆的连接节点上。3.为了保证力偶的单位值,节点力大小为§16.5互等定理

16.5.1功的互等定理：i表示位移发生在i点。j表示引起的载荷作用在

j点。先加，然后在加P1Δ11Δ12Δ22P212先加，再加∵

∴

在由引起的位移上所作的功=在由引起的位移上所作的功称为功的互等定理注：和可以推广为一组力系。P1Δ11Δ21Δ22P212可以推广到两种广义力状态：第一种广义力状态在第二种广义力状态引起的位移上作的功等于第二种广义力状态在第一种广义力状态引起的位移上做的功例:

轴承中滚珠，直径为，沿直径两端作用一对大小相等方向相反的集中力F,材料的弹性模量E和泊松比ν已知。试用功的互等定理求滚珠的体积改变。第一状态第二状态由功的互等定理：对第二状态，滚珠的任一点应力状态均为∴负号表示体积缩小

16.5.2位移互等定理

若，则有，即两个广义力、数值上相等。则在作用处引起的广义位移=在作用处引起的广义位移。例16.8欲用测量方法画挠曲线（描点绘图）而测挠度的千分表又不能动，请拟定实验方案。

利用位移互等定理，如想测中点C的挠度∵

P作用在B处引起C处的挠度,等于P作用在C处引起B处的挠度.∴只要将P移至C点，千分表测得的B处挠度就是原题图中要求的中点C的挠度。

以此类推，将AB平分为8等份，将P依次移动。千分表测得各处挠度，描点作出挠曲线。“力”及“位移”为广义的，若为力偶矩，则对应的角位移：

注：1.只要在线性及小变形条件下，互等定理都成立。

§16.6势能驻值原理和最小势能原理

1.势能驻值原理：

平衡位形出现在势能取驻值处,即对变形体：其中V仍为外力势能

U为弹性变形势能（应变能）

结构平衡时，总势能对某一位移函数取驻值，或说总势能的一阶变分为零。

2.最小势能原理：

结构在稳定的平衡状态下所具有的总势能必为最小。

假设一位移函数近似地表示结构的位移，此函数包括一个或多个待定的位移参数。3.瑞利-里茨法用于求近似解，其原理和方法：对位移函数最低要求：满足变形连续条件及位移边界条件。对位移函数最高要求：满足力的边界条件更好。将总势能用待定的位移参数表示出来。

将总势能对每一个参数取偏导数，并另其为零（势能驻值原理）。得到包含待定参数的联立方程组，解之，可求待定参数。注：假设的位移函数中包含的待参数越多，结果越精确。从理论上说如果假设的位移函数为完备的函数系列构成的无穷级数，应该得到精确结果。在工程实际中取两个或三个待定参数就可以达到满意结果。参数一经求出，假设的位移函数就已确定,进而可求出结构的内力。例：求均布载荷悬臂梁自由端挠度、转角及固定端弯矩。位移函数（即挠度函数）：