北京市东城区数学二模试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集U是实数集R．如图的韦恩图表示集合M={x｜x＞2｝与N=｛x|1＜x＜3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A．｛x｜x＜2｝ B．{x｜1＜x＜2} C．{x｜x＞3} D．{x｜x≤1｝2．已知向量=(1，2），=(x，4）,且⊥，那么x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣163．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（)A．f（x)=sinx B．f（x）=｜x+1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=cosx4．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(）A．1 B．2 C．4 D．85．已知x，y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C． D．x2＞y26．已知直线x+y=m（m＞0）与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点),那么m的值是（）A． B． C． D．7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧（左）视图可能为（）A． B． C． D．8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z,其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N*)次操作之后,乙容器中含有纯酒精an(单位：L）,下列关于数,列｛an｝的说法正确的是（）A．当x=y=a时，数列{an}有最大值B．设bn=an+1﹣an（n∈N*）,则数列{bn｝为递减数列C．对任意的n∈N*，始终有D．对任意的n∈N＊，都有二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知△ABC三内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,且，又边长b=3c,那么sinC=．10．已知﹣ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=．11．如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位:小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填;y的位置应填．12．已知函数f(x)=1nx+2x﹣6的零点在区间(，）（k∈Z）内，那么k=．13．已知双曲线G以原点O为中心,过点，且以抛物线C:y2=4x的焦点为右顶点，那么双曲线G的方程为．14．如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为对角线B1D上的一点，M，N为对角线AC上的两个动点,且线段MN的长度为1．（1）当N为对角线AC的中点且DE=时，则三棱锥E﹣DMN的体积是；(2）当三棱锥E﹣DMN的体积为时，则DE=．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在等差数列{an}中，a1=﹣2,a12=20．（Ⅰ）求通项an;（Ⅱ）若，求数列的前n项和．16．函数的最大值为2,它的最小正周期为2π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=cosx•f（x），求g（x）在区间上的最大值和最小值．17．某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位,为了方便市民停车,某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表:时间8点10点12点14点16点18点停车场甲1031261217停车场乙13432619如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10％，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报．（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率．18．如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形,E，F分别为AD，A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1；(Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．19．设函数f（x）=（x﹣a)•ex，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，试求f(x）的单调增区间；（Ⅱ）试求f（x)在［1,2］上的最大值;（Ⅲ）当a=1时,求证：对于∀x∈[﹣5,+∞），恒成立．20．已知椭圆E：mx2+y2=1（m＞0)．(Ⅰ)若椭圆E的右焦点坐标为，求m的值；（Ⅱ）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．

2017年北京市东城区高考数学二模试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集U是实数集R．如图的韦恩图表示集合M=｛x｜x＞2｝与N={x｜1＜x＜3｝关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（)A．{x|x＜2} B．{x|1＜x＜2｝ C．｛x｜x＞3｝ D．｛x|x≤1}【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据韦恩图表示集合关系进行求解即可．【解答】解：由韦恩图得所有元素是有属于U，但不属于M∪N的元素构成,即x∈∁U（M∪N），由M=｛x|x＞2}与N={x｜1＜x＜3}则M∪N=｛x|x＞1｝，则∁U（M∪N)=｛x｜x≤1}．故选：D．2．已知向量=(1，2)，=（x，4），且⊥，那么x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的垂直关系求出x的值即可．【解答】解：∵=（1，2），=（x，4），且⊥，∴x+8=0，解得：x=﹣8,故选：C．3．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1］上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=|x+1｜ C．f（x)=﹣x D．f（x）=cosx【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】分别确定函数的奇偶性，在区间［﹣1，1］上单调性，可得结论．【解答】解：对于A，是奇函数,在区间［﹣1，1］上单调递增，不正确;对于B,非奇非偶函数，不正确,对于C,是奇函数，在区间[﹣1，1］上单调递减，正确；对于D，偶函数，不正确，故选C．4．在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积为(）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】7B：二元一次不等式（组)与平面区域．【分析】由约束条件作出可行域，求出A、B、C的坐标,再求三角形的面积．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，联立，得C(1，1）,又A（0，2），B（0，0)；∴不等式组所表示的平面区域的面积为S=×2×1=1．故选：A．5．已知x,y∈R，那么“x＞y”的充分必要条件是（）A．2x＞2y B．lgx＞lgy C． D．x2＞y2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合指数函数的性质判断即可．【解答】解：由2x＞2y⇔x＞y，故“x＞y”的充分必要条件是：2x＞2y,故选：A．6．已知直线x+y=m（m＞0）与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），那么m的值是（)A． B． C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线x+y=m（m＞0)与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离;再根据点到直线的距离公式即可求出m的值．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=OPsin30°=，即圆心O（0,0)到直线x+y=m（m＞0）的距离d==，∵m＞0，∴m=故选B．7．日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”．其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左）视图可能为(）A． B． C． D．【考点】L7:简单空间图形的三视图．【分析】由侧视图的定义及其圆的三视图即可判断出结论．【解答】解:由侧视图的定义及其圆的三视图可知：此日晷的侧（左）视图可能为D．故选:D．8．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L)．现将甲容器中的液体倒入乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N＊)次操作之后，乙容器中含有纯酒精an（单位：L),下列关于数,列{an｝的说法正确的是（)A．当x=y=a时,数列｛an｝有最大值B．设bn=an+1﹣an（n∈N*），则数列｛bn}为递减数列C．对任意的n∈N*，始终有D．对任意的n∈N*，都有【考点】8H：数列递推式．【分析】对x，y，z的大小关系进行讨论，得出剩余酒精浓度变化，得出结论．【解答】解：对于A,若x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故an＜，故A错误;对于B,若x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为,故B错误；对于C,若x=1，y=1，z=3，则a1=，=，故a1＞,故C错误；对于D，当n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y≤z时，an=，当x+y＞z时，an＜，故D正确．故选D．二、填空题共6小题,每小题5分，共30分．9．已知△ABC三内角A，B,C对应的边长分别为a,b，c,且，又边长b=3c，那么sinC=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵，又边长b=3c，∴由正弦定理可得：===，∴解得：sinC=．故答案为:．10．已知﹣ni其中n是实数,i是虚数单位,那么n=．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵﹣ni,其中n是实数，∴=i=﹣ni，解得n=．故答案为：．11．如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时)，已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x的位置应填3;y的位置应填8．【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x、y的值．【解答】解：根据茎叶图中的数据,得：∵甲班的平均数为13，∴=13，解得x=3；又乙班的中位数是17,∴=17，解得y=8；综上,x、y的值分别为3、8．故答案为：38．12．已知函数f（x）=1nx+2x﹣6的零点在区间（，）（k∈Z）内，那么k=4．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx+2x﹣6在其定义域上连续单调递增，从而利用函数的零点的判定定理求解即可．【解答】解:函数f(x）=lnx+2x﹣6在其定义域上连续单调递增,f（2）=ln2+4﹣6=ln2﹣2＜0，f（3)=ln3+6﹣6=ln3＞0；故函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点在区间（2,3）内，故k=4；故答案为：4．13．已知双曲线G以原点O为中心，过点，且以抛物线C：y2=4x的焦点为右顶点，那么双曲线G的方程为．【考点】KC:双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线方程可得其焦点坐标，即可得双曲线G的右顶点坐标，分析可得双曲线的焦点位置以及a的值，可以设其方程为:x2﹣=1，将点坐标代入双曲线方程可得4﹣=1，解可得b2的值，将b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0）,即双曲线G的右顶点坐标为(1，0），则该双曲线的焦点在x轴上，且其中a=1，设其方程为：x2﹣=1，又由双曲线过点，则有4﹣=1，解可得b2=4,则双曲线G的方程为；故答案为：．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为对角线B1D上的一点，M，N为对角线AC上的两个动点,且线段MN的长度为1．（1）当N为对角线AC的中点且DE=时，则三棱锥E﹣DMN的体积是；（2）当三棱锥E﹣DMN的体积为时，则DE=．【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】(1）证明MN⊥平面DEN，求出三角形DEN的面积，代入体积公式计算即可；(2）根据体积求出E到平面ABCD的距离，再利用相似三角形求出DE．【解答】解:（1）∵底面ABCD是边长为2的正方形，N是AC的中点,∴AC⊥BD，DN=,∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，故当N为AC的中点时，有MN⊥平面DEN，又DB1=2，BB1=2，∴sin∠BDB1==,∴VE﹣DMN=VM﹣DEN===．（2）设三棱锥E﹣DMN的高为h，则VE﹣DMN====，∴h=，∵,即,∴DE=．故答案为：(1），（2)．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在等差数列{an}中，a1=﹣2,a12=20．（Ⅰ）求通项an；(Ⅱ）若,求数列的前n项和．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】(Ⅰ）根据等差数列的通项公式即可求出公差d，写出通项公式即可，（Ⅱ）先根据等差数列的求和公式化简bn,再判断数列为等比数列,根据等比数列的求和公式计算即可．【解答】解：(Ⅰ）因为an=﹣2+（n﹣1）d，所以a12=﹣2+11d=20．于是d=2,所以an=2n﹣4．（Ⅱ）因为an=2n﹣4,所以．于是，令,则．显然数列｛cn}是等比数列,且,公比q=3，所以数列的前n项和．16．函数的最大值为2，它的最小正周期为2π．（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若g(x）=cosx•f（x），求g(x）在区间上的最大值和最小值．【考点】H2:正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f(x)最小正周期为2π，求出ω．f（x）的最大值2，所以A=2．可得解析式(Ⅱ）根据g(x）=cosx•f（x）,求出g（x)的解析式，x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x)的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数，∵f（x）的最小正周期为2π∴,解得ω=1．∵f（x）的最大值2，∴A=2．故得f（x)的解析式为．（Ⅱ)由(Ⅰ）可知=那么g(x）=cosx•f(x）===sin（2x+）∵x∈上时，可得:于是，当2x+=时，g（x)取得最大值为；当2x+=时，g（x）取得最小值为0．∴g(x）在区间上的最大值为，最小值为0．17．某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位,为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间8点10点12点14点16点18点停车场甲1031261217停车场乙13432619如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报．（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；(Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】(Ⅰ）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，由此能求出该车主收到停车场甲饱和警报的概率．（Ⅱ）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况，一共有六个时刻，由此能求出甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率．（Ⅲ）事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，由此能求出当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率．【解答】（本小题13分)解：（Ⅰ）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为．…（Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况,一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为．…（Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报"只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为．…18．如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．(Ⅰ）求证：DD1⊥平面ABCD;（Ⅱ）求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1;（Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定；LW:直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明DD1⊥AD，且DD1⊥CD，即可证明：DD1⊥平面ABCD；(Ⅱ）证明BE⊥平面ADD1A1．即可证明：平面A1BE⊥平面ADD1A1；(Ⅲ)证明四边形BCFA1是平行四边形,求棱BC的长度．【解答】（Ⅰ)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD．因为AD∩CD=D，所以DD1⊥平面ABCD．…(Ⅱ)证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD．因为DD1⊥平面ABCD,而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1．因为AD∩DD1=D，所以BE⊥平面ADD1A1．因为BE⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A1．…（Ⅲ）解：因为BC∥AD，F为A1D1的中点，所以BC∥A1F．所以B、C、F、A1四点共面．因为CF∥平面A1BE，而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B，所以CF∥A1B．所以四边形BCFA1是平行四边形．所以．…19．设函数f（x）=（x﹣a)•ex,a∈R．（Ⅰ)当a=1时，试求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）试求f(x）在[1,2]上的最大值；(Ⅲ)当a=1时，求证：对于∀x∈[﹣5，+∞），恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K:导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f(x）的最大值是f(1）或f（2），通过作差求出满足f（1）或f（2）最大时a的范围，从而求出f（x）的最大值；（Ⅲ）令h（x)=f（x）+x，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a)•ex得f’(x）=（x﹣a+1）•ex．当a=1时,f’(x）=x•ex，令f'(x）＞0，得x＞0，所以f（x)的单调增区间为（0,+∞）．…（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．所以当a﹣1≤1时，x∈[1，2]时f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当a﹣1≥2时,x∈［1,2］时f'(x）≤0恒成立，f(x）单调递减；当1＜a﹣1＜2时，x∈[1，a﹣1）时f’（x)≤0，f（x）单调递减；x∈（a﹣1，2）时f’（x）＞0,f（x）单调递增．综上，无论a为何值，当x∈[1,2］时，f（x）最大值都为f（1）或f（2）．f(1)=（1﹣a）e，f(2）=（2﹣a)e2，f(1)﹣f(2）=(1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．所以当时，f（1）﹣f(2）≥0，f(x）max=f（1）=（1﹣a）e．当时，f(1）﹣f(2）＜0,．…（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'(x）=xex+1．所以h'