数学（文科）攻略大一轮复习课标版精练8-2空间点线面的位置关系（试题部分）

§8.2空间点、线、面的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点点、线、面的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论;②会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题;③理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2019课标全国Ⅲ,8,5分两条直线的位置关系面面垂直的性质★★☆2019课标全国Ⅲ,19,12分四点共面、四边形的面积面面垂直的判定2016课标全国Ⅰ,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质2018课标全国Ⅱ,9,5分异面直线所成的角线面垂直的性质分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.题型以选择题和填空题为主,也可能是解答题,本节内容主要考查学生的空间想象能力,在备考时应加强训练.破考点练考向【考点集训】考点点、线、面的位置关系1.(2020届安徽合肥八校第一次联考,5)已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若a∥α,a⊥b,则b⊥αB.若a⊥α,a⊥b,则b∥αC.若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.若a∩b=A,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β答案D2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④答案C3.(2020届河南、河北重点中学摸底考试,9)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=2,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.答案C答案B6.(2019广东东莞模拟,2)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C11C1∥平面AB1E答案C7.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.答案已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.证明:如图所示,因为a∥b,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知,平面α与平面β重合,所以直线a,b,c,l共面.炼技法提能力【方法集训】方法1证明点共线、线共点及点线共面的方法1.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.答案已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C,且A,B,C不重合.求证:直线AB,BC,AC共面.证法一:∵AB∩AC=A,∴直线AB,AC可确定一个平面α,∵B∈AB,C∈AC,∴B∈α,C∈α,故BC⊂α,因为直线AB,BC,AC都在平面α内,∴直线AB,BC,AC共面.证法二:∵A不在直线BC上,∴点A和直线BC可确定一个平面α,∵B∈BC,∴B∈α,又∵A∈α,∴直线AB⊂α,同理可得直线AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.证法三:∵A,B,C三点不在同一条直线,∴A,B,C三点可以确定一个平面α,∴A∈α,B∈α,∴直线AB⊂α,同理AC⊂α,BC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.2.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH,HG.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH,FG,BD三线共点.答案(1)∵AEEB=CFFB=2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CG∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且EFAC=13,GHAC=1∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.方法2异面直线所成角的求解方法1.(2020届四川雅安中学第一次月考,7)如图,E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为()A.30° B.120° C.60° D.45°答案C2.在正四棱锥PABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为()A.90° B.60° C.45° D.30°答案C3.(2018湖南永州三模,7)三棱锥ABCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.13 B.24 C.33答案D4.如图,已知在三棱锥ABCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为.

答案60°或30°【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B2.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52答案C3.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33答案A4.(2019课标全国Ⅲ,19,12分)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.答案本题考查了线面、面面垂直问题,通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了直观想象的核心素养.(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()∥l ∥n ⊥l ⊥n答案C2.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()与l1,l2都不相交与l1,l2都相交至多与l1,l2中的一条相交至少与l1,l2中的一条相交答案D3.(2018天津,17,13分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.(1)求证:AD⊥BC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.答案(1)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2+在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=12MNDM所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=3.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD=AC在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=3所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34C组教师专用题组考点点、线、面的位置关系1.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A2.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m答案A3.(2010全国Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABCA1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

答案25.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.答案(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCDEFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH,BD.因为ABCDEFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.6.(2013课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.答案(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,所以AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+OA12,故OA1因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=3,故三棱柱ABCA1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.【三年模拟】时间:45分钟分值:50分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2020届河北枣强中学9月月考,5)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是()A.若a∥α,a∥b,b∥c,则c∥αB.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥bC.若a⊥α,a⊥b,b⊥c,则c⊥αD.若α∥β,a⊂α,则a∥β答案D2.(2019四川成都二诊,8)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案C3.(2020届甘肃兰州重点中学9月联考,6)正方体的平面展开图如图,AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60°角的有()对 对 对 对答案D4.(2020届河南顶级名校摸底考试,10)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为()A.32 B.34 C.105 答案D5.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABCA1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是