人教版八年级数学上册 （公式法）整式的乘法与因式分解新课件(第1课时)

第1课时公式法八年级上册RJ初中数学

因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.知识回顾提公因式法分解因式一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.知识回顾(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2-2ab+b2.完全平方公式:1.了解并掌握公式法分解因式的运算法则.2.熟练运用公式法分解因式的运算法则进行实际的计算.学习目标课堂导入由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了a2-b2=(a+b)(a-b).多项式a2-b2有什么特点？回想平方差公式的特点，你能将它分解因式吗？是两个数的平方的差a2-b2=(a+b)(a-b).知识点1用平方差公式分解因式新知探究用平方差公式分解因式能用平方差公式分解因式的多项式的特点：多项式是一个二项式,两项都能写成平方的形式，且符号相反..“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.

例1分解因式：(1)4x2-9；

(2)(x+p)2-(x+q)2

.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).新知探究跟踪训练解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)

.例2分解因式(1)x4-y4；

(2)a3b-ab.

注意：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.首、末两项和是两个数的平方和的形式，而中间的一项是这两个数的积的2倍.多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？回想完全平方公式的特点，你能将它们分解因式吗？新知探究知识点2用完全平方公式分解因式新知探究完全平方式:我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.符合两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍这个特点的式子就是完全平方式.把整式乘法的完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.用完全平方公式分解因式:两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.注意:公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点多项式是三项式，其中首、末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或者两个式子）的积的2倍，符号正负都可以；公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.跟踪训练新知探究例3分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例4把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)

(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看成一个整体，设原式化为m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.检查是否分解彻底，若没有则继续分解一提考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式二套看多有无公因式，若有应先提取公因式因式分解的一般步骤：三查不能直接套公式时可适当变形整理随堂练习1.（2020·桂林）因式分解a2-4的结果是（）A.(a+2)(a-2)B.(a-2)2C.(a+2)2D.a(a-2)A2.将下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

解：(1)4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y);(2)(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1);(3)16(a-b)2-25(a+b)2=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b);(4)x5-16x=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).2.将下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

因式分解平方差公式法完全平方公式法课堂小结a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.已知k为正整数，试判断(2k+1)2-1能否被8整除，并说明理由.拓展提升点拨：通过因式分解，并结合数的奇偶性，先确定因式分解后的式子含有哪些因数，再根据倍数关系确定能被什么数整除.解：(2k+1)2-1能被8整除，理由如下：(2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1).因为k为正整数，所以k，k+1为两个相邻的正整数，则其中必有一个为偶数，即2的倍数.所以4k(k+1)为8的倍数，所以(2k+1)2-1能被8整除.解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2

.因为m-4n=-3，mn=4，所以原式=-4×(-3)2=-4×9=-36.2.已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.八年级上册RJ第2课时公式法初中数学

提公因式法分解因式一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.知识回顾提公因式法一般步骤：(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.

由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了a2-b2=(a+b)(a-b)用平方差公式分解因式语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.用完全平方公式分解因式语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.因式分解的一般步骤：(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.1.了解并掌握x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解的方法.2.熟练运用x2+(p+q)x+pq分解因式的方法及步骤进行计算.学习目标为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块边长为xm的正方形绿地，向两邻边分别加宽pm和qm，扩大后的绿地面积是多少？课堂导入S=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pqxxpqx2pxpqqxx2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？绿地的面积还可以怎样表示？xxpqx2pxpqqxS=x2+(p+q)x+pqS=(x+p)(x+q)x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式.因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得出：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)知识点

运用x2+(p+q)x+pq分解因式新知探究x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.十字相乘法分解因式的步骤：(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.一次项系数1p1q1×q+1×p=q+p(1)运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解需要满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积，且一次项系数是这两个数的和；(2)当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同；(3)有时候需要多次尝试才能分解.例分解因式：(1)x2-3x+2；

(2)x2+3x-10.

分析：(1)1-11-21×(-2)+1×(-1)=-3(2)1-2151×5+1×(-2)=3解：(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2)；(2)x