北京市一零一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题含解析

wqrrlwqrrl#/15如此，消去如此，消去a并整理，得穆丁，如此工悬=0 * 士14.定义在区间［-n,n］上的函数f区二xsinx+cosx,如止匕f区的单调递增区间是5,蕊案.解：由题意得，f'[x]=sinx+xcosx-sinx=xcosx,根据余弦函数的性质得,当在（-兀，或［0, 时，f'〔x〕＞0,所以f〔x〕的单调递增区间是（-兀，-^-］和［0,，］,故答案为：（-n,］和［0, .15.函数f15.函数f〔x〕sins3-工"2厂3,芯《曰，其中a＞0.如果对于任意x1,x2£R,且x1＜x2,者隋f〔x1〕＜f〔x2〕，如此实数a的取值X围是［十，1］.解：对于任意x1, x2£R,且\＜乂2，都有f〔x1〕＜f〔x2〕成立，即函数f〔x〕在R上单调递增，先考察函数g〔x〕=-x2+2x-3,xeR的图象，配方可得g〔x〕=-〔x-1〕2-2,函数g〔x〕在〔-8,1〕上单调递增，在〔1,+8〕上单调递减，且g〔x〕二g〔i〕=-2,，a41,以下考察函数h〔x〕=xlnx,xe〔0,+8〕的图象，

如此卜〔X〕二lnx+1如此卜〔X〕二lnx+1,令It[x]=lnx+l=O,解得随着x变化时,h[x]和h1[x]的变化情况如下：x -<0,—） — （工心）e eeh'[x] - 0 +h[x] 单调递减 极小值 单调递增即函数h[x]在<0,工9上单调递减，在工工心）上单调递增e eh小）痔二旧）二；对于任意X],X?£R,且X]<X2,都有f〔xj<f[x2]成立，.加♦"二1卡―/P••・谭〉-2,即h[x]min>g[x]max，-a的取值X围为[上，1].e故答案为：[―,1].三、解答题共4小题，共45分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.公差不为0的等差数列Q｝的首项分;1,且分,%,久成等比数列.[1]求数列｛为｝的通项公式；⑵设\二a,求数列｛b〉的前n项和Sn.解：〔1〕设等差数列｛为｝的公差为d,d不为0,由1,且外,叫，久成等比数列，可得a22二分冤,即为[1+d]2=l+5d,解得d=3,所以为=1+3[n-1]=3n-2;[2]b二一-n[2]b二一-n%”如此Sn二春〔1-0/1（3n-2）fen-H）33n-23n+l1" 1上上1 1 1-1ri+ +・・・+ 〕〔1-447 3n-23n+l3-17.在①S2=64,q<0,②S3=96,③S1二等这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.设等比数列凡｝的公比为q,前n项和为S”，前n项积为Tn,neN*,满足—，S4二80.问二是否存在最大值？假如存在，求出n的值；假如不存在，请说明理由.解：假如选①S2=64,q<0,S4=80,可得分+叫=64,二-S2-16,况口小次41 1两式相除可得q2=・一匕二上，解得q=-4，为十七4 2由m-占1:64,解得分二128,所以为二々qn-l=[-1]n-128-n,当n为奇数时，为>0,当n为偶数时，不<0,当l<n<8时,|*1;当n>9时,|aj<1,所以当n=8时，前n项积为二取得最大.假如选②S3=96,S4=80,如此a4=S4-S3=-16,即有aiqs=-16,ai+aiq+aiq2=96,解得分二128,q=an=a^n-1=[-1]n-12s-n,当n为奇数时，为>0,当n为偶数时，不<0,当lvn48时，同性1;当n之9时，氏|<1,所以当n=8时，前n项积为二取得最大.假如选③Si=等，$4=80,如止匕外二等，等〔1+q+q2+q3〕=80,解得q-~",an-7"-*28-n,当1vnv6时，an>1；当n、7时，0<an<1.所以当n=6时，前n项积为二取得最大.18.函数汽/=3-我，曲线y=f［x］在x=l处的切线经过点［2,-1］［I］某某数a的值；〔口〕设b>1,求f［x］在区间中，匕］上的最大值和最小值.【解答】〔本小题总分为13分〕解：［I］f［x］的导函数为F(之)=±1@^且 所以f'〔1〕=l-a.依题意，有叫一尸)二卜a，1一1〔口〕由〔工〕得Q)=lr严支当0<x<l时，l-X2>0,-lnx>0,所以f〔X〕>0,故f[x]单调递增;当x>l时，l-X2<0,-lnx<0,所以F〔X〕<0,故f［x］单调递减.所以f［x］在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,+oo］上单调递减 因为0<J_<l<b,所以f[x]最大值为f[1]=-1 b设=f(bj-f7口lnb-b+-^-,其中b>1 如此Mb:■故h［b］在区间［1,+oo］上单调递增 所以h〔b〕>h〔l〕=0,即汽匕)〉"() 故f〔x〕最小值为f+)二-blnb-—•19.函数f〔x〕=lnx+ax2+〔2a+1〕x.[1]讨论f[x]的单调性;⑵当，<。时，证明：f〔x〕“匾2[3]假如不等式f[x]>0恰有两个整数解，某某数a的取值X围.解：〔1〕由题意，得f[x]的定义域为3,3, ⑴」+2小+2/1」"口’—廿1）・TOC\o"1-5"\h\zK X假如a>0,如此当xe〔0,+8〕时，F〔x〕>0,故f〔x〕在〔0,+8〕上单调递增，假如a<0,如此当在M时，F〔X〕>0,当在心）时2a 2af[X]<0,故f[X]在9 上单调递增，在4。-,转）上单调递减.2a 2a综上所述，假如a>0,f[x]在〔0,+8〕上单调递增律改口a<0,f[x]在鑫-白2a上单调递增，在㈡,-KO）上单调递减.2a[2]由⑴知，当a<0时，f[x]在二」取得最大值，2a最大值为日丑）=1门（「4-）：-1-；，2a2a4a所以f|.宜.：；唱-；-2等价于1口（-4），4a. 2a4a4a设g〔X〕=lnx-x+l,如此屋（K）=--1，当xe[0,1]时，g'凶>0；当xe[1,+oo]时，g，〔X〕<0,所以g[x]在〔0,1〕上单调递增，在[1,+oo]上单调递减,故当x=l时，g[x]取得最大值，最大值为g[1]=0,所以当x>0时，g〔x〕所，从而当a<0时，4^7^-十1W0,2a 2a-2a即fW<-^-2.4a⑶①当a》0时，

由⑴知f〔x〕在〔0,+8〕上单调递增，因为f⑴=l+3a>0,所以当x>1时，f〔X〕>0恒成立，不符合题意;②当a<0时，由⑴知f[x]在to,-卓）上单调递增，在[口TOC\o"1-5"\h\z2a 2a单调递减，工-24a27[i]当时，此时2-2e0，8 4a所以f〔X〕max<0，即f[x]<0恒成立，显然不满足题意;[ii]当<a<0时，此时等石心）,cS /asi°当，即,