正弦量的特征值及表示法

海南风光第2章正弦交流电路

2.1正弦量的特征值

2.2正弦量的表示方法

2.3单一参数的正弦交流电路清华大学电机系电工学教研室唐庆玉编第2章正弦交流电路2.1正弦电压与电流

2.1.1正弦量的参考方向和电源模型

2.1.1周期、频率和角频率

2.1.2相位、初相位和相位差

2.1.3最大值和有效值2.2正弦量的相量表示法和复数表示法2.3正弦交流电路中的元件

2.3.1电阻元件

2.3.2电感元件

2.3.3电容元件2.4正弦交流电路的分析与计算

2.4.1RLC串联电路

2.4.2阻抗网络与等效阻抗

2.4.3复杂正弦交流电路的计算2.5正弦交流电路的功率

2.5.1正弦交流电路的功率

2.5.2功率因数的提高

2.4.3最大功率传输原理2.6电路中的谐振

2.6.1串联谐振

2.6.2并联谐振2.7电路的频率特性

2.7.1传递函数与电路的频率特性

2.7.2滤波器与波特图第2章正弦交流电路如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

tiuiR+-用小写字母表示交流瞬时值正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti正弦交流电的正方向uiR+-2.1正弦波的特征量

i ：

电流幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）：

初相角特征量:为正弦电流的最大值正弦波特征量之一

--幅度

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im则有（均方根值,rms）可得当

时，交流直流热效应相当有效值电量必须大写，如：U、I有效值概念交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值可得当

时，i=2Isin(t+)i可写为：同理:u=Umsin(t+)2mUU=u=2Usin(t+)u可写为：问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V

若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压

描述变化周期的几种方法

1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..正弦波特征量之二

--角频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹

...iT正弦波特征量之三

--初相位：

t=0

时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位()()2121

jjjwjw

j-=+-+=tt

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

t>0=0<0两种正弦信号的相位关系同相位落后于相位落后领先于相位领先相位差为0与同相位21

jj

j-=90

-（-90

）=180

=()()2211

sin

sinw90

w-=+

=tIitIimm90

如果相位差为+180

或-180,称为两波形反相例:可以证明同频率正弦波加减运算后，频率不变。如：结论:

因角频率（

）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变2.2正弦波的相量表示方法

瞬时值表达式

相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i正弦波的表示方法：重点

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。正弦波的相量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量

(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：mUmIUI

3.相量符号U、I

包含幅度与相位信息。mUU或正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小设：U1U2相位哪一个领先？哪一个落后？U2U1领先于同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则U2U1Uu=u1+u2=()2221

sin2

jw+==tUu()11

sin2jw+tUu()

sin2jw+tU21UUU+=U2U1U–

=

=180º–

用余弦定理求U：U2=U12+U22–2U1U2cos

U2U1U

用正弦定理求

角：sin

UU2sin

==

1+

()

sin2jw+tUu=新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算相量的复数表示将相量放到复平面上，可如下表示：Uab+1UjjsincosjUUjbaU+=+=a、b分别为U在实轴和虚轴上的投影欧拉公式jÐÞUj=eUj代数式

指数式

极坐标形式

jj+=+=jUjbaU)sin(cosab+1U设a、b为正实数jjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限jjeUjbaU=-=jjeUjbaU=+-=在第二象限jjeUjbaU=--=在第三象限在一、二象限，一般取值：180°0°在三、四象限，一般取值：0°-180°+1U1

1=60°

2=120°U2U3

3=-120°相量的复数运算1.复数加、减运算222111jbaUjbaU+=+=设：jjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121则：2.复数乘、除法运算乘法：设：除法：±j称为90°旋转因子乘以+j使相量逆时针转90°乘以-j使相量顺时针转90°说明：设：任一相量A则：=±o90eAjA)(j±波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法TijjÐÞ=+=UeUjbaUjUI符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”U最大值

---大写+下标一.

电阻电路根据

欧姆定律

设则2.3单一参数的正弦交流电路uiR+-tItRURuitUuwwwsin2sin2sin2====1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：电阻电路中电流、电压的关系4.

相量关系o0Ð=UURIU=UI5.相量图o0Ð=IIo0Ð=UUo0Ð=IRRI=电阻电路中的功率1.瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写=2UIsin2tuiR+-2.（耗能元件）结论：1.随时间变化ωtuipωt电阻的瞬时功率波形图p=2UIsin2t2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiRP=UIU=IR=I2R=U2/R电感元件i

+

线圈磁通uN匝线圈产生的磁通总和称为磁链：磁链与电流成比例：磁通的参考方向与电流的参考方向符合右手螺旋法则。L称为电感，无铁心线圈L是常数电感元件e

+

线圈磁通参考方向规定:

感应电动势的参考方向与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。则：如果线圈有N匝，则：磁通变化，将在线圈中产生感应电动势电感元件e

+

i+u

电位降电位升uei++––电路图电感元件ui+–电路图若i=I直流电流，则u=0。电感在直流电路中相当于短路。3.电容C单位电压下存储的电荷（单位：F,F,pF）++++----+q-qui+

电容符号有极性(电解电容）无极性+老符号电容上电流、电压的关系当(直流)时,所以,在直流电路中电容相当于断路（开路）uiC+

U为直流电压时,以上电路等效为思考题：

U为直流电压，画出下列电路的等效电路UR1R2LC+

+R1UR2

二.电感电路

基本关系式：设cos2==tLIdtdiLuww则)90sin(2o+=tUw)90sin(2o+=tIwXLiuL+-电感电路中电流、电压的关系

1.频率相同

2.相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）)90sin(2o+=tUuwiu设：其中：

U=IXL，XL=

L3.有效值4.相量关系o0Ð=II设：oo9090Ð=Ð=IUUXLÐo0=jXL

I或

I=U/jXL感抗（Ω）定义：

:rad/sL:H(亨)5.相量图o0Ð=IIo90Ð=UUU=IjXLI=U/jXL复数符号：有效值：I=U/XLUI电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息()LXjIU=电感电路中的功率1.瞬时功率

p

：iuL+-储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程+PP>0ui电压电流实际方向p为正弦波，频率加倍iuL+-ui-+ui-+ui-+ui+-

2.平均功率

P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）3.无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。基本关系式:设：三、电容电路则：uiC+-

1.频率相同2.相位相差90°

（i

领先u90°

）电容电路中电流、电压的关系iu3.有效值