2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试

卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

I.已知集合4={1,2,3,4},B={2,5,6,7},则ACB=（）

A.{0,2}B.{2}C.{-2,0,2}D.{-2,2}

2.己知命题p：使得N-X-2>0”，则命题p的否定是（）

A.VxWO,总有x2-x-2>0B.Vx>0,总有N-X-2W0

C.3x>0,使得/-X-2W0D.mxWO,使得X2-X-2>0

3.“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中表示同一函数的是（）

A-尸与y=（4）4B.f(x)=/+i与g(r)=F+1

„1匕1

C.尸一与y=-LD->=d(x-3)2与)=x-3

x|x|

5.若a,b,c为实数，且“<bVO,则（

A.ac2^bc2B.工<工<0

C.ac<bc<0D.0<a2<b2

ab

6.函数f（x）=<•中，有（）

x+1

A.7（x）在（-1,+8）上单调递增

B.f（x）在（1,+8）上单调递减

C./（%）在（1,+8）上单调递增

D.f（x）在（T,+8）上单调递减

7.若正数x,y满足上的=1,则x+2y的最小值为（）

xy

94oo

A.等B.答C.25D.27

55

8.定义在R上的偶函数/（x）满足：在大日0,+8）上单调递减，则满足了（2x-1）V/（l）

的x的取值范围是（）

A.(-1,0)B.(1,+8)U(-8,0)

C.(-8,0)D.(0,1)

9.已知集合A={x|ox2-2x+o=0}中至多含有一个元素，则实数。的取值范围()

A.[-1,1]B.[1,+8)U(-8,-1]

C.[-1,l]U{0}D.[1,+8)u(-8,-l]U{0}

10.函数/CO对任意在R,都有/(x)=/(尤+12),y=fCx-1)的图形关于(1,0)对

称，且/(8)=1,则/(2020)=()

A.1B.-1C.0D.2

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

11.函数f(x+l)=Y运的定义域为________________________，/(X)的表达式

x+1

为.

x2+l,x41

12.设函数f(x)〃9、，则/(I)=_____，/(/(3))=_____.

—,x>l

、x

13.函数f(x)=x△的奇偶性是，在［1，+8)上的单调性是.

X

14.已知函数/(x)=-ox3-bx+3a+b(n,Z?ER)的图象关于原点对称，若它的定义域为

-1,2a],刃乂么a=,b=

-x^-ax-5,(x41)

15.已知函数f(x)X是R上的增函数，则的取值范围

且(x>l)

X

是.

16.给定下列四个命题：其中为假命题的有.(填上假命题的序号)

9

(1)x>0,记M=x+W,则M22；

x

(2)如果函数/(x)为偶函数，那么一定有/G)=/(国)；

(3)函数/(x)=x+yj4-x的最大值为

(4)命题p：1~>0的否定为1-W0.

XX

17.若正数。，匕满足。+匕=1,则彳1三+不17r的最小值为

3a+23b+2---------------

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。

18.集合A={x|-1WxW3},B={x[x<-3或x>l},£>={x|mWxW/n+6}.

(1)求CRB及AGB；

(2)若BUO=R,求实数机的取值范围.

R1

19.(1)已知求函数y=4x-2+^~二的最小值;

44x-5

(2)当0VxV4时，求y=x(8-2r)的最大值.

20.已知函数£&)=乂旦0<〉0).

X

(1)判断了(X)的奇偶性；

(2)当k=2时，用函数单调性定义证明/(外在(0,2]上单调递减.

2

21.已知函数/(冗)=*+2x+a,xe[l,+8).

x

(1)当。=*时，求函数f(X)的最小值；

(2)若对任意x曰1,+8),/(x)>0恒成立，试求实数。的取值范围.

22.设函数/(x)=x2+2ax+2-a,(〃€R).

(1)当a=\时，解关于x的不等式/(x)>(1-a)N-a+5；

(2)若工诧[1,2],使得f(x)>0成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.

1.己知集合4={1,2,3,4},B={2,5,6,7),则AC8=()

A.{0,2)B.{2}C.{-2,0,2}D.{-2,2}

解：•集合A={1,2,3,4},B={2,5,6,7),

：.AQB={2}.

故选：B.

2.已知命题p：使得x2-x-2>0”，则命题p的否定是（）

A.VxWO,总有N-X-2>0B.Vx>0,总有/-X-2W0

C.3x>0,使得N-X-2W0D.3x^0,使得N-x-2>0

解：因为命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，

即命题P的否定为：“Vx>0,总有N-X-2W0”，

故选：B.

3.“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：三角形为等边三角形=三角形为等腰三角形，反之不一定成立.

“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件,

故选：A.

4.下列函数中表示同一函数的是（）

A・与y=（4）4B.f(x)=9+1与g(0=卢+1

尸工与了=-占

C.D-—Y（x-3）2与尸x-3

X|x|

解：选项4：函数y=的定义域为R,函数y=（、G）4的定义域为［0,+8）,故不

是同一函数，

选项8：函数/CO与g（/）的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，

选项G因为y=』，xWO,则y#0,函数旷=人，xT^O,则y>0,故不是同一函数,

x|x|

选项。：因为丁=/（«~35攵二鼠-3|20，而y=x-36R,故不是同一函数,

故选:B.

5.若。，b,c为实数，且aVbVO,贝lj（）

A.a&Wbc1B.工<工<0C.ac<bc<0D.0V〃2Vb2

ab

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,c2^0,必有acZWbc2,A正确；

对于B,a<Z?VO,则—L>0,则有工■〈工V0,8错误；

abba

对于C,cVO时.，有〃c>bc>0,C错误；

对于O,a<b<0,则有0V炉V〃，。错误；

故选：A.

6.函数f（x）=」r中，有（）

x+1

A./（X）在（-1,+8）上单调递增

B./（%）在（1,+8）上单调递减

C.f（%）在（1,+8）上单调递增

D.f（x）在（-1,+°°）上单调递减

解：函数y=1"的图象向左平移1个单位可得函数y==的图象,

因为函数丫=［在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，

x

则函数）,=击在（-8,-1）和（-%+8）上单调递减.

故选：D.

7.若正数招y满足上监=1,则x+2y的最小值为（）

xy

9490

A•爸B,告C.25D.27

55

解：・・•正数羽y满足工遂=1,

xy

(-i+―)=1+16+红+版W17+2X2J工•里•=25,当且仅当y=2x

.*.x+2y=(x+2y)

xyxyVxy

=10时取等号.

故选：C.

8.定义在R上的偶函数/（x）满足：在工日0,+8）上单调递减，则满足/（2x-1）V/（l）

的X的取值范围是()

A.(-1,0)B.(1,+8)U

C.(-8,0)D.(0,1)

解：因为/(X)是偶函数，且/(X)在xe[0,+8)上单调递减，

所以不等式f(2x-1)</(1)等价于/(|2x-1|)</(1),

BP|2x-1|>1,解得x<0或x>l,

所以满足f(2x-1)</(1)的x的取值范围是(1,+8)U(-8,0).

故选：B.

9.已知集合A={x|aN-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围()

A.[-1,1]B.[1,+8)U(-8,-ij

C.[-1,1]U{0}D.[1,+8)U(-8,-l]U{0}

解：对于方程ax?-2x+a=0至多只有一个根，

当a=0时，方程为-2x=0,解得x=0,此时方程只有一个实数根，符合题意；

当aWO时，△=4-4〃2W0,解得aW-1或

综上所述，实数a的取值范围为(-8,-|ju[l,+8)U{0}.

故选：D.

10.函数/(x)对任意xeR,都有/(x)=/(x+12),y=f(x-1)的图形关于(1,0)对

称，且f(8)=1,则/(2020)=()

A.1B.-1C.0D.2

解：因为函数/a)对任意x€R,都有/(x)=/(x+⑵，

所以函数f(x)的周期为T=12,

将y=/(x-l)的图形向左平移1个单位可得y=/(x)的图象，

又y=f(x-1)的图形关于(1,0)对称，

所以y=/(x)的图象关于点(0,0)对称，

故/(x)为R上的奇函数，

所以7(2020)=/(168X12+4)=/(4)=/(4-12)=/(-8)=-/(8)--1.

故选：B.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

11.函数f&+1)=立亘的定义域为[-2,-1)U(-1,+8),f(x)的表达式为

f(x)xe［-1,0)u(0,+8)

解：因为函数f(x+i)=立迈,

x+1

x+210,解得x>-2且x#-1,

则

x+1户0

故函数f(x+i)=运a的定义域为［-2,-1)u(-1,+~)；

x+l

令，=x+l,则冗=才-1,且怎［-1,0)U(0,+8),

所以/•(£)=五五，佗［-1,o)U(0,+8),

t

则/(x)的表达式为f(x)=立五，XG[-

1,0)U(0,+8),

«)=五五,%6［-1,0)U(0,+8).

故答案为：［-2,-1)U(-1,+8)；

x2+l,x41

12.设函数f(x)=2，则/(I)=_^_，/(/(3))=—景―

—,x>l9

x

解：由已知可得/(I)=12+1=2,

2=4,所以r(/(3))=/(|)=(1)2+i4+iT，

3ooyy

故答案为：2；早.

y

13.函数f(x)=x4的奇偶性是奇函数，在[1，+8)上的单调性是增函数.

x

解：定义域为(-8,0)U(0,+8),

-工=

•：f(-X)=-x(A-+—)=-/(X),

XX

・・・函数/(x)为奇函数,

-f(X2)=(Xl+'^)1又2一盯

任取龙1>X221,则/(»)(及+)=(X1-X2)+---------

X1x2XJ2

1

(XI-X2)(1-),

xlx2

Vxi>X2^1,

1

・・X］-12>0,1->0,

xlx2

(xi)-f(X2)>0,即/(X)在［1,+°°)上单调递增.

故答案为：奇函数；增函数.

14.已知函数/(x)=-ax3-bx+3a+b(a,beR)的图象关于原点对称，若它的定义域为

-1.2a],那么a=5，b—-1.

~3~------

解：根据题意，函数/(X)=-ax3-bx+3a+b(a,Z?GR)的图象关于原点对称，即/(x)

为奇函数,

若它的定义域为3-1，2a],则有(a-1)+2a=0,解可得。=看,

O

3

则/(x)=--^-x-bx+1+b,/(-%)——x3+bx+X+b,

03

则有/(-x)+f(x)=2+26=0,解可得b=-\,

故答案为：]，-1.

-x2-ax-5,(x41)

15.已知函数f(x)=<是R上的增函数，则a的取值范围是「3,

—(x>l)

X

-2].

解：要使函数在R上为增函数，须有了(X)在(-8,1]上递增，在(1,+8)上递增,

且-F-aX

-i>1

所以有，a<0,解得-3WaW-2,

-/-aX]_54申

故。的取值范围为[-3,-2].

故答案为：[-3,-2].

16.给定下列四个命题：其中为假命题的有(1)⑵(个.(填上假命题的序号)

9

(1)x>0,记“=》+=，则M22；

X

(2)如果函数/(x)为偶函数，那么一定有/(x)=/(W)；

(3)函数/(x)=x+JMG的最大值为手；

(4)命题p：1>0的否定为工W0.

XX

解：对于(l)x>0,记用=》+晟)2亚，当且仅当》=加时，等号成立，故(1)错误;

对于(2),函数/CO为偶函数，那么一定有/(x)=/(凶)，例：f(x)=/-1,就

不满足，故(2)错误；

对于(3)函数/(x)=x+J^W，(x<4),

令"^=t(t>0),

所以x=4'•产，故g⑺=七2+5二_(t2+7,由于，20,

所以gajm豕h^-，故(3)正确；

对于(4),命题p：1>0的否定为["VO,故(4)错误.

XX

故答案为：(1)(2)(4).

17.若正数小力满足。+6=1,则、的最小值为4-

3/a+L2+3b+2-7一

解：二•正数〃，〃满足。+6=1,(3〃+2)+(36+2)=7.

，3a；22b：2=/[(3a+2)+(3b+2)](3a\+31^2)

4屹爵琮祟呼2+2盛薪)号,当且仅当f制时取等号•

SaL+ZqSJb+Z了的最小值为多(

故答案为：寺

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤。

18.集合A={x|-1WXW3},8={小<-3或x>l},

(I)求CR8及4GB；

(2)若BUD=R,求实数机的取值范围.

解：(1),・,集合A={x|-1〈XW3},8={小<-3或%>1},

・・・CRB={R-3WxWl},

：.AQB={x\\<x^3]；

(2)•.■8={MxV-3或x>l},£>={x|mW%Wzn+6},BUD=R,

(10^-3

s,解得-5</H<-3.

(m+6>l

・•・实数机的取值范围是(-5,-3).

R1

19.(1)已知x>7，求函数y=4x-2+；；-m的最小值；

44x-5

(2)当0VxV4时，求y=x(8-2r)的最大值.

R11

解：(1)•.,工〉=，4x-5>0,工函数y=4x-2+-——=4x-5+-——+3

44x-54x-5

2j(4x-5)・*三+3=5，当且仅当尸尚时取等号，

二函数y=4x-2+:的最小值为5.

4x-5

(2)当0<xV4时，可得y=x(8-2x)=2x(4-x)(X+^-X)2=8,当且仅当尤

=2时取等号，

，y=x(8-2x)的最大值为8.

20.已知函数f(x)=x+^(k>0)・

x

(1)判断了(X)的奇偶性；

(2)当％=2时，用函数单调性定义证明/(x)在(0,2］上单调递减.

【解答】(1)解：函数的定义域为(-8,0)u(0,+8),

,2

'.'f(-X)=-X-JL_=-f(x),

X

...函数f(x)为奇函数.

44

(2)证明：任取0<Xl<X2W2,则f(XI)-f(X2)—xi+(