2021-2022学年度高二开学分班考试（五）【全解全析】

2021—2022学年度高二开学分班考试（五）

数学.全解全析

1.D

【题目详细解读】

因为A0=gA月+g；4Z5,又A3=mAM,AN=nAD(m>0,n>0),

故可得Ad=HLAM+—AN,又0,M,N三点共线，

22/7

故可得生+」-=1,即m+'=2.

22nn

12

mn=—m--

23

由＜解得V

3

机+—=2n--

n4

8

24

=—3X—3二9-

2.C

【题目详细解读】

百+]_6_]_百sin100—cos10°_2sin(l()o-30。)_«

cos100+sin5500-cos10°-sin10°-sin10°cos10°-~1in20。—一,

2

故选：C.

3.D

【题目详细解读】

，八万、711712乃、((7l\5

因为。£[0,5卜所以。+不£[1sin[a+7J>。，由cosla+J=百得

12

B

.•.cosf«-^1=cos

I6j1

51127312石+5

——x-T--x-------，

13213226

故选：D.

4.C

【题目详细解读】

r\.r\,rj•Q

由题意知z=2+2i，所以三=——-=-^-=2-2i,也可通过复数三角形式的儿何意义

i1-1

直接得到结论.

故选：C.

5.D

【题目详细解读】

由正弦定理得sin4cosB=sinBcosA.所以sinAcosB-cosAsinB=0,所以

sin(A-B)=0,

因为A,Be(0,〃)，所以A-8=0,;.A=B.

所以三角形是等腰三角形.

故选：D.

6.C

【题目详细解读】

①若出?>。2,所以COSC="一+._C->=,则0<c(工，故①正确；

2ab2ab23

②当A=105°,8=45时，tanA〈tan5,但是sinA>sin3,故②错误；

7T\7TTC

—~B,A<——8,故A<——8,所以A+B<一,

(2J222

7F

所以一<C<〃，则AABC为钝角三角形，故③正确；

2

④若tanAtanB>1,则所以sinAsinjB>cosAcos5,即

cos（A+B）<0,所以cosC>0,所以Ce0,5,故tanC〉O,而

tanA+tanB

tanC=-tan（A+B）=，所以则

1-tanAtanB

tanAtanBtanC=tanA+tan3+tanC>2>JtanAtanB+tanC>2»故④正确；

故选：C.

7.D

【题目详细解读】

设事件A：麒麟部与龙吟部先比赛觑麟部获胜;

13

由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为-，麒麟部胜鹰隼部的概率为一，龙吟部胜

35

鹰隼部的概率为3,

二麒麟部获胜的概率分别是：

…、131八3、11八1、八1、3113

P(A)=-x—+-x(l——)x—x—+(1——)x(1——)x—x—=——，

353523325345

故选：D.

8.C

【题目详细解读】

如图所示，记A在底面的投影点为。点，取CD中点。，连接OG,8Q,。“，显然BQ过

点0,

过H作HR〃CD交BQ于R点、,连接AR，

^G《、GNUCD爻BQ^NE,连接A7V,

因为AG_L8C,OGJ_8C,所以二面角A-BC-D的平面角为ZAGO,

An

所以。3=/46°,所以tan口=tanNAG。=,

OG

又因为40_L平面BCD,所以A”与平面BCD所成角即为NA"O,

An

所以劣=乙AHO,所以tan&-tanZAHO=,

OH

A(JAO

又因为OGWOH,所以=2——，所以tan42tan&,结合正切函数的单调性可知

OGOH

。3>名，

因为HR//C。，所以AH与C。所成的角为NAHR,所以，=NA"R，所以tanq,

当H点在G点时，此时tan=—1,tan0,=---，又AN>AO,GN<GO,

GN3GO

ANAO

所以--->----,所以tan>tan",所以4>名，

GNGO

当”由G向8运动时，此时AR增大，HR减小,所以tanq增大，所以g增大,

综上可知：e2<oy<e^

故选：C.

【题目详细解读】

解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确;

对于B：4耳与丽互为相反向量，故B错误:

对于C：若石=。时，。与c不一定共线，故C错误;

对于D：零向量与任意向量平行，故D正确;

故选：AD

10.ABD

【题目详细解读】

*1232百

对于A,cos150-sin15°=cos(15°+15°)=cos30°=-----------J故A正确;

2

对于B,sin—cos—=—sin—=•故B正确;

88244

对于C,—sin400+—cos40°=sin40°cos60+sin60cos40°

22

=sin(40°+60°bsin100°=sin80",故C错误;

对于D,tanl5°=tan(45°—30°)

1旦

黑=T=故D正确.

1+tan45tan30J3

1H---

3

故选：ABD

11.BD

【题目详细解读】

27r

对于A选项，当a=6=l,c=G时，满足。+匕<2c,此时C=

TT

不满足0<C<],故A选项错误；

T[TTTT

选项由题意知：4。一，Bw—,Cw—,且A+3+C=〃

222

/.tan(A+B)=tanOr-C)=-tanC,

tanA+tanB

X•/tan(A+B)=

1-tanAtanB

tanA+tan5=tan(A+B)(l-tanAtanB)=-tanC(l-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC,

即tanA+tan5+tanC=tanAtanBtanC,故选项4正确;

TT17TTT

选项C：因为0<cos8=—<cos—=—，所以一<8<一,

33232

由sinA==A=工或4=M，

233

27r7t

当4=—时，A+B>万与A+8+C=»矛盾，所以A=一,

33

所以满足要求的角C只有1个，故选项C错误;

选项O：△ABC的三边长分别为。，b,c,且

，(/+y=/++2a2。2=/+2a%?.

A(a2^-b2)2-c4=2a2b2>0.

又(a?+b2)2-c4=(a2+b2+c2)(a2+b2-c2),

cr+h2-c2>0.

2»22

△ABC中，由余弦定理可得cosC=2+£•>0,故角C为锐角.

2ab

再由题意可得，。边为最大边，故角C为AABC的最大角，

所以AABC是锐角三角形，选项。正确；

故选：BD

12.BC

【题目详细解读】

对于A：在正方体43CO-A4GA中，。。"/。。,因为直线。。与直线4厂不垂直，

所以直线。。与直线AF不垂直.故A错误；

对于B：取用G的中点N,连结GNAN,因为E,尸,G,N分别为8C,CG，8瓦，用G的

中点，所以由三角形中位线定理得：BCJIGN,BC、IIEF,即以GN//EF,

因为GNE面AEF，EF面人所，所以GN//面AM.

同理可证：AN//面AE/.

又GN面AGN,A、N面A°N,GNCAN=N,

所以面AGN//面AEF，所以直线\G与平面AEF平行.故B正确；

对于C：连结A。，,由上面证明过程可知EFIIAA，所以平面凡所截正方体所得的截

面为面AEF".因为七/=立，AD\=6，

2

所以为等腰梯形，如图示:

/?_也「

过从厂分别作EP、FQ垂直A2于P、。，则人.20,

Ar=--------------=------

24

I⑹（夜丫3&

所以EP=JAE?一AP?

\l2Jl4J4

,V2

所以等腰梯形AEFQ的面积为.2+33&9.

----------x-----=—

248

故C正确.

对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AE尸将CG平分,则平面AEF必过CG

的中点，连接CG交EF于H,而H不是CG中点，则假设不成立，故D错误.

故选：BC

13.15

【题目详细解读】

解：总人数为：40+60+20=120人，

年龄小于50岁的员工人数为：40+60=100人，

则用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工

中，年龄小于50岁的员工人数为则乂18=15人.

故参考答案为：15.

14.V10

【题目详细解读】

3乃7T

在四边形AJ3CZ)中，AB-1»BC=y/2,>NABC=—,Z.ADC=一，AB_LAD)

44

CBLCD,

所以，A、B、C、。四点共圆，

3(无、

由余弦定理得AC2=A32+6C2-2-A8-8CCOS把=3-2xlx0x--=5,

42

所以，AC=J5，

2R=AC=亚=反

设AABC的外接圆半径为R,则一sinZABC一母,

T

\AB±AD,CB1CD,故5。为圆的直径，所以BD=M.

故参考答案为：Vio.

15.5

【题目详细解读】

设叱=。+4，w2=c+di(a,b,c,deR),

——4

:吗一吗=-------，

・二(％—吗)•(％—吗)=4,

即[(q_c)_e_d)i}[(a_c)+(b_d)j]=4,即(q—cj+(Z?-c/)2=4,

故”、叱对应平面内距离为2的点，如图尸、G,

BG\D

v|w7-za|e{l,3},

Za与/、卬2对应的点的距离为1或3,

构成了点A、B、C、D、E共5个点,

故女的最大值为5,

故参考答案为：5.

,253

16.—ci

72

【题目详细解读】

如下图所示，

延长EF分别交D4、。。的延长线于M、N,连接ZW交A4于点G,连接RN交CG

于点H，再连接GE、HF,则该截面截正方形的截面为五边形2GEF”.

QBC//AD,则则/EMA=/EFR,/RAM=/FRF,

•.•E为AB的中点，则AE=5E，/=与，同理CN=：,

22

AGAM11

・・・AM〃4A，..△GAM〜△G4A，・.K=V7r=7，♦・AG=—A4,=上a，

AG42233

310

在府AM£W中，DM=DN=-a,则5白0的=-DM-ON=—/,

228

1

=1ScA“G=JX1a21

~&AME'~~72

所以，正方体位于截面DfiEFH下方的几何体体积为

31生/L

V^DMN—2%——Q3—2X—/

ij-AAivMicF,872722

因此，较小部分几何体的体积为25一/,

72

25R

故参考答案为：~~za-

17.（1）参考答案见题目解析；（2）m=±l.

【题目详细解读】

nr-2m-8<0

（1）选择①z<o,则《

m2-4=0

解得m=2.

选择②z为虚数，则〃[2—4。（）,

解得m±2.

选择③z为纯虚数，则加2一2加—8=0，根2一4。0,

解得m=4.

(2)由z=(加一2m—8)+(加一4)，可知

复数z—，%2(i+j)+8=(62—2加—8)+(加2-4)/—m2z-m2+8=—2m一41.

依题意J(—2^)2+16:2出,

解得m-±1.

因此加=±1.

18.(1)C=—；(2)c=2>/3•

【题目详细解读】

(1)...组4=由正弦定理可得Gc°sC=],可得tanC=G，

acsinC

,.,Ce(O,^-),因此，C=y；

(2)由平面向量数量积的定义可得瓦•而=bacosC=Lc/=4,可得出?=8,

2

由余弦定理可得

c2=a2+h2-2ahcosC=a2+b2-ah=^a+b^-3ah=62-3x8=12,

因此，c=2V3•

19.(1)述(2)=^-

525

【题目详细解读】

选①cos2A+2>/5COS(5+C)+2=0

9FT

W2cos2A—1—2V2cosA+2=0»即(V^cosA—1)=0,解得cosA=-^-

JT

因为0<A<〃，所以A=一

4

选②因为8+2cosCcosB=cos(C-B)-cos(C+5)

所以41+2cosCcosB-cosCcosB+sinCsinB-cosCcosB+sinCsinB

即2cos(C+8)=—0,cosA泻,因为0<4<4，所以A=?

小八c厂■，//一.2sinBsinCrr.(sinAsinB

选③2ctanB=>/2/?(tanA+tanB),所以------------=v2sinB\-------+-------

cosBIcosAcosB

所以2sinBsinCeosA=>/2sinBsinC，因为sinBwO,sinCwO

所以cosA=*,因为Ae(O,%),所以A=?

(1)在△ABC中，由余弦定理：cosA=—.-+J5,可得力=3

2bc

所以cosC="_+"一:正

2ab5

44

(2)因为cos?ADB—,所以cosN8DC=-《

3

即N8OC为钝角，且sinZB£>C=—

又N8OC+NC+NQBC=180°,所以NC为锐角

所以cosC=Vl-sin2C=冬6

5

所以sin/DBC=sin（ZC+/BDC）=sin/BDCcosZC+cosZBDCsinZC

32754V5275

——x---------x=------

555525

20.(I)①14.8；②().88；(2)选择2获赠概率大，理由见题目解析.

【题目详细解读】

(1)①前两组的频率和是0.012x5+0.(M0x5=0.26>0.25,所以四分位数在第二组，设

四分位数为x,满足0.012x5+(x-10)x0.040=0.25,

解得：x=14.75«14.8,

所以估计该接种点市民等待时间的上四分位数是14.8；

②[30,40]的频率为0.012x10=0.12,

所以P（A）=l-0.12=0.88,

10

(2)选择1：10次都没有摸到红球的概率P=1

所以至少有一次摸到红球的概率P=，即获赠小礼物的概率是1-1得);

C24

选择2：1次没有摸到红球的概率P=仔=—,那么5次都没有摸到红球的概率-,所

5⑴

f45

以至少有1次摸到红球的概率P=1-2，即获赠小礼物的概率是1--

15

(4丫

<1--,所以选择2获得小礼物的概率大.

21.（1）（_1,+^）.（2）arccos—.

225

【题目详细解读】

（1）6=90。时，坐标系xQv为平面直角坐标系,

设点则有尸=而

P（x,y）,O（x,y）,q=（l,0）,OPei=x,

又。户石户所以》=一；，又因|而

=|O]•|eI■|•cosl2（y=—L|=Jf+y2=],

22

解得y=±哼，故点尸的坐标是（-；,土亭）；

___________________5___

依题意夹角为。，

（2）q,445q・4=1qI，|/|cos45,OP=e]+J5・/，

2

.[OPH+V2-e21=J（q+6.e?）2=不e：+2>/2^-e2+2e2=后，

------•----•-•f~.—•—»~>—»2i~~—•—>

OPei=]OP\-\eiI-coscz=V5coscz,OPe1=（e,+v2-e2）-e,+>J2-e2-e]^2>

所以&cosa=2,cosa=2’.，而ae[0,7r],故&=2汽（：05久^.

55

22.（1）①；（2）证明见题目解析；（3）n=125,证明见题目解析.

【题目详细解读】

（1）当“=2时，

①若A（,2）,8（4,6）,则d（AB）=|4-l|+|6-2|=7,①正确；

②在AABC中，若/C=90，则IAC『+\BCf=I，设&玉,y）,5（%，%），°（七，为），

所以（七一工3）~+（乂-%）2+（工2一七）~+（%—%）2=（%-/）2+（%-%）2

而[d（A,B）]2=（,一刃+E-%|>=（%-无2>+（%一％）2+2|（石一%）（%-%）|,

[J（A,C）]2+[J（C,B）]2=

（%—七）一+（y—必）一+（马—不月+（%一%）-+2|（%-w）（y—必）|+2|（当一天）（>2—%）|

但2|（百一七）（y-%）|+2|（看一刍）（%一为）|=2|（X-±）（弘一%）|不一定成立，②错误；

③在AABC中，若d（A,B）=d（AC），在②中的点坐标，有

k一即+E-%|=|与-&|+』一%|，但2。7机-必|=2卜一&卜加-对不一定

成立，因此|AB|=|AC|不一定成立，从而ZB=NC不一定成立，③错误.

空格处填①

(2)证明:设4王，乂),8(々,%)，°(知%)，根据绝对值的性质有

kT+lwT小一到,E一%|>应一%|，

所以4