2024届福建省龙岩市新罗区龙岩市第二中学九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届福建省龙岩市新罗区龙岩市第二中学九年级数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（）A．只有甲的结果正确B．只有乙的结果正确C．甲、乙的结果合起来才正确D．甲、乙的结果合起来也不正确2．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．3．二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是()A． B． C．2 D．5．某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路与电阻的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为()A． B． C． D．6．如图，若绕点按逆时针方向旋转后能与重合，则（）．A． B． C． D．7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．2 B． C． D．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．49．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（）A．2 B．C．或 D．2或10．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为()A． B． C． D．11．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm212．我市组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．14．如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则=_________度.15．如果一元二次方程经过配方后，得，那么a=________.16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3在坐标系中的位置如图所示，它与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a＋b＝0；②x＝3是ax2＋bx＋3＝0的一个根；③△PAB周长的最小值是＋3.其中正确的是________.17．如图，将绕顶点A顺时针旋转后得到，且为的中点，与相交于，若，则线段的长度为________.18．在英语句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东53°方向，距离B地516千米，C地位于A地南偏东45°方向．现打算打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．（结果精确到1千米）（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝）20．（8分）如图是反比例函数y＝的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1.(1)求该反比例函数的表达式；(2)若点M，N分别在该反比例函数的两支图象上，请指出什么情况下线段MN最短(不需要证明)，并注出线段MN长度的取值范围．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与，轴分别交于，两点．（1）求一次函数的表达式；（2）求的面积．23．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．每轮传染中平均一个人传染了几个人？按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？24．（10分）如图，的直径为，点在上，点，分别在，的延长线上，，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长．26．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，点两点，交轴于点.(1)求、的值.(2)请根据图象直接写出不等式的解集.(3)轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．【题目详解】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），如图所示：∵m为整数，由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，∴甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．2、D【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.【题目详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，∴，，.∴故选：D．【题目点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．3、B【解题分析】由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．故选B．4、D【解题分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【题目详解】连接BD，则BD＝，AD＝2，则tanA＝＝＝．故选D．【题目点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．5、B【分析】电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，可设I=，根基图象得到图象经过点（5，2），代入解析式就得到k的值，从而能求出解析式．【题目详解】解：可设，根据题意得：，解得k=10，∴．当R=4Ω时，（A）．故选B．【题目点拨】本题主要考查的是反比例函数的应用，利用待定系数法是求解析式时常用的方法．6、D【分析】根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解．【题目详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合，∴，，∴，故选D．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．7、B【解题分析】试题解析：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，故选B.8、C【分析】根据平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得,代数解答即可.【题目详解】解:由题意得,,,解得.【题目点拨】本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键.9、D【分析】分两种情况讨论：①，②，根据题意得出方程求解即可．【题目详解】有意义，则①当，即时，由题意得，去分母整理得，解得经检验，是分式方程的解，符合题意；②当，即时，由题意得，去分母整理得，解得，，经检验，，是分式方程的解，但，∴取综上所述，方程的解为2或，故选：D．【题目点拨】本题考查了新型定义下的分式方程与解一元二次方程，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．10、B【分析】直接利用概率公式求解；【题目详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率；故选B．【题目点拨】考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法．11、C【解题分析】试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6-2x，∴纸盒侧面积=3x（6-2x）=-6x2+18x，=-6（x-）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选C．考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质．12、A【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，

所以两人恰好选择同一场馆的概率，故选：A．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．二、填空题（每题4分，共24分）13、x（x-1）=1【解题分析】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1．故答案是（x﹣1）x=1．考点:列一元二次方程．14、25【解题分析】首先求出∠HDB的度数，再利用直角三角形斜边中线定理可得OH=OD，由此可得∠OHD=∠ODH即可解决问题．【题目详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°，∴∠ABO=90°−∠BAO=65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB=90°，∴∠BDH=90°−ABO=25°，在Rt△DHB中，∵OD=OB，∴OH=OD=OB，∴∠DHO=∠HDB=25°，故答案为：25.【题目点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.15、-6【解题分析】∵，∴，∴a=-6.16、①②③【分析】①根据对称轴方程求得的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值．【题目详解】①根据图象知，对称轴是直线，则，即，故①正确；②根据图象知，点A的坐标是，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与轴的另一个交点的坐标是，所以是的一个根，故②正确；

③如图所示，点关于对称的点是，即抛物线与轴的另一个交点．

连接与直线x=1的交点即为点，此时的周长最小，

则周长的最小值是的长度．

∵，

∴，，∴周长的最小值是，故③正确．

综上所述，正确的结论是：①②③．

故答案为：①②③．【题目点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．17、【分析】根据旋转的性质可知△ACC1为等边三角形，进而得出BC1=CC1=AC1=2，△ADC1是含20°的直角三角形，得到DC1的长，利用线段的和差即可得出结论．【题目详解】根据旋转的性质可知：AC=AC1，∠CAC1=60°，B1C1=BC，∠B1C1A=∠C，∴△ACC1为等边三角形，∴∠AC1C=∠C=60°，CC1=AC1．∵C1是BC的中点，∴BC1=CC1=AC1=2，∴∠B=∠C1AB=20°．∵∠B1C1A=∠C=60°，∴∠ADC1=180°-（∠C1AB+∠B1C1A）=180°-（20°+60°）=90°，∴DC1=AC1=1，∴B1D=B1C1-DC1=4-1=2．故答案为：2．【题目点拨】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出△ADC1是含20°的直角三角形是解答本题的关键．18、【解题分析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.考点：概率公式．三、解答题（共78分）19、建成高铁后从B地前往C地的路程约为722千米．【分析】作AD⊥BC于D，分别根据正弦、余弦的定义求出BD、AD，再根据等腰直角三角形的性质求出CD的长，最后计算即可.【题目详解】解：如图：作AD⊥BC于D，在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，sin∠DAB＝，∴AD＝AB•cos∠DAB＝516×＝309.6，BD＝AB•sin∠DAB＝516×＝412.8，在Rt△ADC中，∠DAC＝45°，∴CD＝AD＝309.6，∴BC＝BD+CD≈722，答：建成高铁后从B地前往C地的路程约为722千米．【题目点拨】本题考查了方向角问题，掌握方向角的概念和熟记锐角三角函数的定义是解答本题的关键.20、（1）（2）MN≥4【分析】（1）根据反比例函数自变量与因变量的取值知当x＝－4时，y＝－1，当x=-1，时y=-4，代入其中一组即可求出反比例函数的解析式;（2）根据反比例函数的中心对称图性知当点M，N都在直线y＝x上时，此时线段MN的长度最短，联立y＝与y＝x即可求出M、N的坐标，再求出此时MN的距离，故线段MN长度的取值范围为MN≥4.【题目详解】∵反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限，∴当－4≤x≤－1时，y随着x的增大而减小，又∵当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1，∴当x＝－4时，y＝－1，由y＝得k＝4，∴该反比例函数的表达式为y＝.当点M，N都在直线y＝x上时，线段MN的长度最短，解，得x1=2,x2=-2,∴点M，N的坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，MN=4，故线段MN长度的取值范围为MN≥4.【题目点拨】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用变量的取值来确定坐标，从而解出解析式.21、（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．【题目详解】解：（1）设，∵，，∴，即点，将点C代入中，解得，，∴，设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积，∴当时，四边形面积最大，∴点，过点M作MF⊥OB，垂足为F，∵，∴要使最小，即使最小，∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，∴的最小值；（2）存在；由题意知，，线段所在的直线方程为，分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，∵，解得，点K，H的横坐标分别为，，∵四边形BCPN为平行四边形，设点，当N取点K时，由中点坐标公式知，，解得，，∴，即点，同理可知，当点N取点K时，点；②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，∴点，∴由中点坐标公式得，，∵，∴解得，或，∴点或，综上所述，点的坐标可以为，，或．【题目点拨】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．22、（1）；（2）8【分析】（1）根据题意先把，代入确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意分别求出C、D点的坐标，进而根据面积公式进行运算可得结论．【题目详解】解：（1）把，代入得，把和代入得，所以一次函数表达式为.（2）在中含得，令得，，，.【题目点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解以及掌握待定系数法求函数解析式．23、（1）8人；（2）648人.【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.【题目详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有x+1+（x+1）x=81，解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．（2）8×81=648（人）．答：第三轮将又有648人被传染人．【题目点拨】本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键.24、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，得到∠OCD=90°，于是得到结论；

（2）根据已知条件得到OC=OB=AB=2，根据勾股定理即可得到结论．【题目详解】（1）证明：连接OC，

∵DE⊥AE，

∴∠E=90°，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠A=∠CDE，

∴∠A+∠DCE=90°，

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=4，BD=3，

∴OC=OB=AB=2，

∴OD=2+3=5，

∴CD===.【题目点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．25、（1）与相切，证明见详解；（2）【分析】（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直