北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件

§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画§2实际问题中的函数模型1课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.通过本节内容的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规2新知探究澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.新知探究澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳3问题指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？提示都是增函数，而y＝ax(a>1)时增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增长速度非常缓慢.问题指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？41.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.1.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题52.常见的函数模型2.常见的函数模型6北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件7拓展深化[微判断]判断下列说法的正误.1.某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(

)2.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y＝－4x＋200.(

)××拓展深化××83.在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(

)提示1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1.√3.在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(9[微训练]1.某人从2015年1月1日到银行存入a元，若年利率为x，按复利计算，则2020年1月1日到期时可取款________元(

)

A.a(1＋x)5

B.a(1＋x)6

C.a＋(1＋x)5

D.a(1＋x5)

答案A[微训练]102.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，则客车有营运利润的时间不超过(

)A.4年

B.5年

C.6年

D.7年答案D2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，113.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一年繁殖数量为100只，则到15年繁殖数量为________只.

解析f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400.

答案4003.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alo12题型一实际问题的函数刻画【例1】

18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4(

)5(木星)6(土星)7(

)距离0.71.01.6

5.210.0

题型一实际问题的函数刻画他研究行星排列规律后预测在火星与木13解由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c.解由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型，设f14(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星，它与太阳距离大约是19.6天文单位.(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合对应表值，∴15规律方法建立模拟函数解应用题的一般步骤为：(1)作图：根据已知数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题.规律方法建立模拟函数解应用题的一般步骤为：16【训练1】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51【训练1】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月17解由图表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型.设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函数的解析式为y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字).解由图表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数18把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12.把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，19即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润4.1万元.即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的20题型二由函数图象解决应用题【例2】甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示.

甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只.

乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：题型二由函数图象解决应用题21解(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1，1)和(6，2).直线y乙＝mx＋n，经过(1，30)和(6，10)，可求得k＝0.2，b＝0.8，m＝－4，n＝34，∴y甲＝0.2x＋0.8，y乙＝－4x＋34.故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只).(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解(1)由图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1，1)和(622(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只.(3)设第x年规模最大，即求＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值.y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大.即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只.(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年23规律方法在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.规律方法在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画24【训练2】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：t/天5102030Q/件35302010【训练2】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t25(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时26解

(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由题意解(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数关系27当0<t<25，t＝10时，ymax＝900，当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1125.综上，在第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元.当0<t<25，t＝10时，ymax＝900，28题型三利用其他函数模型解应用题【例3】牧场中羊群的最大畜养量为m(只)，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y(只)和实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值.题型三利用其他函数模型解应用题29北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件30规律方法关键是转化，需认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.规律方法关键是转化，需认真读题，缜密审题，准确理解题意，明31北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件32解(1)不是.对于函数模型y＝lg

x＋kx＋5(k为常数)，但x＝50时，f(50)＝lg50＋6>7.5＝50×15%，即奖金不超过年产值的15%不成立

，故该函数模型不符合要求.解(1)不是.但x＝50时，f(50)＝lg50＋6>733a为正整数，函数在[50，500]递增，f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344.要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.a为正整数，函数在[50，500]递增，f(x)min＝f(34一、素养落地1.通过本节内容的学习，培养学生数据分析素养，数学建模素养，数学抽象素养.2.函数模型的应用主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题， (2)建立确定性的函数模型解决实际问题， (3)建立拟合函数模型解决实际问题.一、素养落地35二、素养训练1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(

)A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年5月1日12350002018年5月15日4835600二、素养训练注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.36解析由表知：汽车行驶路程为35600－35000＝600(千米)，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.答案B解析由表知：汽车行驶路程为35600－35000＝60372.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(

)A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型解析

随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故函数模型为一次函数模型.故选A.答案

Ax45678910y151719212325272.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能383.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元.令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3800元.答案38003.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过8394.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个________元.解析设涨价x元时，获得利润为y元，y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250，∴x＝10时，y取最大值，此时售价为60元.答案604.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个402.2用函数模型解决实际问题2.2用函数模型解决实际问题41课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节42新知探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201520162017销量/万辆81830新知探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工43问题1.在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取信息？2.如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？3.依照目前的形势分析，你能预测一下2019年该公司预销售多少辆汽车吗？结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.问题1.在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方44提示1.建立函数模型.2.f(x)＝ax2＋bx＋c能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.3.60万.提示1.建立函数模型.451.数学模型数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构，其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.1.数学模型数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系462.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：2.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题47×√√×√√484.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y＝2x.(

)

提示1.幂函数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较.4.分裂一次由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)，…，所以分裂x次后y＝2x＋1(个).×4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现49[微训练]1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使收入每天达到最高，则每间应定价为(

)A.20元 B.18元C.16元 D.14元每间每天定价20元18元16元14元住房率65%75%85%95%[微训练]要使收入每天达到最高，则每间应定价为()每间每50解析每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元).答案C解析每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝151解析若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意.故拟录用25人.答案C解析若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋1052题型一一次函数、二次函数模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为“无效价格”，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问： (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？题型一一次函数、二次函数模型53解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.(2)由题意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y54规律方法利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.规律方法利用二次函数求最值的方法及注意点55【训练1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【训练1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采56北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件57北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件58解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：59(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上递增，在t∈(5，10]上递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]上递减，∴ymax＝1200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋160规律方法应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.规律方法应用分段函数时的三个注意点61北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》课件62解(1)当0<x<40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，解(1)当0<x<40时，63(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，∴当x＝20时，L(x)max＝L(20)＝1500；∴当x＝100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.(2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋164题型三指数型函数、对数型函数模型【例3】已知某城市2017年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素). (1)若经过x年该市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式； (2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)?解(1)y＝200(1＋1%)x，x∈N＋.(2)令y≥210，即200(1＋1%)x≥210，解得x≥log1.011.05≈5.答：至少需要经过5年该城市人口总数达到210万.题型三指数型函数、对数型函数模型解(1)y＝200(1＋65规律方法指数型函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.规律方法指数型函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m66即至少要过滤8次才能达到市场要求.即至少要过滤8次才能达到市场要求.67一、素养落地1.通过本节内容的学习，重点提升学生的数学建模素养及数据分析素养.2.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.3.根据收集数据的特点，通过建立函数模型，从而解决问题.一、素养落地68二、素养训练1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(

)A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x解析逐个检验可得答案为B.答案B时间1234利润(千元)23.988.0115.99二、素养训练现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中692.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(

)

A.y＝2t