七年级数学上册专题3.4 一元一次方程与动点问题（强化）（原卷版）

/专题3.4一元一次方程与动点问题【例题精讲】如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒不超过5秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为A． B． C．3或7 D．或如图，已知线段．动点从点出发以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发以每秒的速度向点运动，有一个点到达终点时另一点也随之停止运动．当时，则运动时间．已知，点、在数轴上对应的数分别是、．（1）求、的值，并在数轴上标出点和点；（2）若动点从点出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点与点的距离是3个单位长度；（3）在（2）的条件下，动点同时以每秒2个单位长度的速度，从点出发向数轴负方向运动，求几秒后点与点的距离等于3个单位长度．【题组训练】一．选择题（共7小题）2．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足．动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距4个单位长度时，的值为A．3 B．5 C．3或5 D．1或3．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒3个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒4．如图，数轴上点和点表示的数分别是和4，动点从点以每秒的速度匀速向右移动，动点同时从点以每秒的速度匀速向右移动．设移动时间为秒，当动点到原点的距离是动点到原点的距离的2倍时，的值为A． B． C．或 D．或5．如图所示，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，点运动秒追上点．A．5 B．6 C．7 D．86．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米秒，甲的速度为3厘米秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了A．252次 B．253次 C．254次 D．255次7．如图，数轴上的点和点表示的数分别是0和10，是线段上一动点．点沿以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动的时间为秒．在点运动的过程中，当时，则点运动的时间的值为A．或 B．3或7 C．或或或 D．3或或7或二．填空题（共18小题）8．数轴上，两点表示的数分别为，2，是射线上的一个动点，以为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．（1）当点是线段的中点时，线段．（2）若，则点表示的数是．10．已知数轴上两点、对应的数分别为与3．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设、两点的运动时间为秒，当时，．11．如图，、、、为直线上的4个动点，其中，．在直线上，线段以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段以每秒4个单位的速度向右运动，则运动秒时，点到点的距离与点到点的距离相等．12．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为30，点以每秒6个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动，其中点、点同时出发，经过秒，点、点分别到原点的距离相等．13．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为30．点以每秒4个单位长度的速度从点向右移动，点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，且点，点同时出发，经过秒，点、点分别到点的距离相等．14．已知线段，直线上有一动点从点出发向右沿直线运动，速度为每秒，运动时间为，当时，的值为．15．如图，在数轴上，点，表示的数分别是，14．点以每秒2个单位长度从出发沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位长度从点出发沿数轴在，之间往返运动，设运动时间为秒．当点，之间的距离为8个单位长度时，的值为．16．数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：．若数轴上、两点对应的数分别为、，且满是．（1）求得、两点之间的距离是；（2）若、两点在数轴上运动，点从出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时，点从出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．经过秒，、两点相距5个单位长度．17．已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上一点，其对应的数为．如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，则的值为．18．如图，在数轴上点是原点，点、、表示的数分别是、8、14．若点从点出发以2个单位秒的速度向右运动，其中由点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，点从点出发，以1个单位秒的速度向左运动，若点、同时出发，则经过秒后，、两点到点的距离相等．19．如图，已知，两点在数轴上，点表示的数是，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度在线段上来回运动（从点向点运动，到达点后，立即原速返回，再次到达点后立即掉头向点运动，掉头时间忽略不计）．当点达到点时，、两点都停止运动．当点运动秒时，点恰好落在线段的中点上．20．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边上．21．如图，在直线上顺次取，，三点，使得，，取线段的中点．若动点从点出发以的速度沿射线方向运动，设运动时间为，当时，的值为．22．如图，数轴上，两点对应的数分别为10，，点和点同时从原点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点以每秒3个单位长度的速度先沿数轴负方向运动，到达点后再沿数轴正方向运动，当点到达点后，两个点同时结束运动．设运动时间为秒，当，两点距离为2个单位长度时，的值为．23．已知数轴上两点，对应的数分别是和2，从出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，从出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点，同时出发，经过秒后，，之间的距离为2个单位．24．已知点、在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点移动秒后，．25．如图①，点在线段上，图中共有三条线段；线段，线段，线段，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点为线段的“奇分点”．若，如图②，点从点开始以每秒的速度向运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒．当秒，是线段的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点从点的位置开始以每秒的速度向点运动，如图③所示，并与点同时停止，则当秒，是线段的“奇分点”．

三．解答题（共15小题）27．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”．（1）若点到点的距离等于点到点的距离时，点表示的数是；（2）①若点运动到原点时，此时点关于的“好点”（填是或者不是）；②若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，点的运动时间；（3）若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数．

28．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动2个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．（1）在图中画出当时，点关于点的“联动点”；（2）点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．①点表示的数为（用含的式子表示）；②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”恰好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

29．在数轴上点表示，点表示，且、满足．（1）求，的值，并计算点与点之间的距离．（2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点到达点？（3）若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，、两点间的距离为4个单位长度？

30．【概念学习】点，，为数轴上的三点，如果点到的距离是点到的距离的2倍，那么我们就称点是、的偶点．如图1，点表示的数为，点表示的数为1，表示0的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是、的偶点；表示的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是、的偶点，但点是、的偶点．【初步探究】已知如图2，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为5，若点是、的偶点，回答下列问题：（1）当在点，之间，点表示的数为；（2）当为数轴上一点，点表示的数为．【深入思考】如图3，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一个动点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点停止．若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？

31．如图1，点把线段分成两条线段和，如果时，则称点是线段的内二倍分割点；如图2，如果时，则称点是线段的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点、、、分别表示数、2、1、0，则点是线段的内二倍分割点；点是线段内二倍分割点．（1）如图4，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为7．的内二倍分割点表示的数是；的内二倍分割点表示的数是．（2）如图5，数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为20．点从点出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒．①线段的长为；（用含的式子表示）②求当为何值时，、、三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．

32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示．（1）请你在数轴上表示出，，三点的位置；（2）把点到点的距离记为，则．（3）若点沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点到点的距离为？（4）若点以每秒的速度匀速向左移动，同时点、点分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．

33．如图，已知数轴上的点，对应的数分别是和1．（1）若到点，的距离相等，求点对应的数；（2）动点从点出发，以2个长度单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得点到点的距离是点到点的距离的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发向点运动，经过2秒相遇；若动点从点出发向点运动，同时，动点从点出发与点同向运动，经过6秒相遇，试求点与点的运动速度（长度单位秒）．

34．数轴上、两点对应的数分别是、12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点是的中点．（1）如图1，当线段运动到点、均在、之间时，若，则，，；（2）当线段运动到点在、之间时，求与的数量关系；（3）当点运动到数轴上表示数的位置时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达后，立即以同样速度返回，同时点从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设它们运动的时间为秒，求为何值时，、两点间的距离为1个单位长度．

35．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？（写出计算过程）（3）在题（2）中，若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出的值．

36．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点、点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．【问题情境】已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为秒．【综合运用】（1）运动开始前，、两点的距离为；线段的中点所表示的数．（2）点运动秒后所在位置的点表示的数为；点运动秒后所在位置的点表示的数为；（用含的式子表示）（3）它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距4个单位长度？（4）若，按上述方式继续运动下去，线段的中点能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当，两点重合，则中点也与，两点重合）．

37．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．（1）填空：秒后，点表示的数为；点表示的数为．（2）求当为何值时，；（3）当点运动到点的右侧时，点是线段上靠近于点的四等分点，点为线段上靠近于点的三等分点，求的值．

38．已知数轴上，，三个点表示的