高等代数二课程标准

高等代数二课程标准

一、课程概况课程名称高等代数

II课程代码20102025适用专业数学与应用数学开课学期第2学期课程性质学科基础课程学时/学分85/5预修课程中学数学二、课程目标课程目标

1：掌握向量空间、线性变换、欧式空间及二次型等线性代数理论的基本概念、基础知识与基本理论，提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。课程目标

2：了解重要概念的背景及重要定理的证明过程，培养学生的抽象思维、逻辑推理和代数运算能力，培养学生解决问题的基本意识，提高学生的专业能力素质，

为后续专业课程的学习以及自主学习奠定坚实的能力基础。课程目标

3：使学生初步掌握由特殊到一般、具体到抽象的研究方法，了解有限与无限的辩证关系，掌握本课程所涉及的探索问题、解决问题的重要思想方法，为后续专业课程、其它相关学科的学习奠定坚实的思想方法基础。课程目标

4：培养学生的终身学习和专业发展意识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问题。同时，通过课前预习、课堂启发与讨论、课后作业等方式，培养学生自主学习与职后发展的能力。三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养

3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势123

3.2善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力。1233.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数学在社会生活的实际应用价值。123毕业要求指标点课程目标

教学能力4.2

具备扎实的教学基本功，熟练掌握现代信息技术，积极采用启发式、案例式、合作式、研讨式等教学方法，准确、生动地向学生传授知识，实施教学。1234学会发展学会反思7.1

掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力。12347.2

具有批判性思维与独立思考能力，掌握反思笔记、观察、行动、叙事分析等反思教学的基本方法和技能。2、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作高等代数IIHHHMMM高等代数IIHMM课程目标1HHHMMM课程目标2HHHMMM课程目标3HHMMMM课程目标4LLLMMM注：H

表示高支撑，M

表示中支撑，L

表示低支撑。

四、课程教学要求与重难点

序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点

6

向量空间(1)

掌握向量空间的概念及其简单性质，初步了解公理化的思想方法；了解常用的向量空间。(2)

掌握子空间的概念和判别方法；了解生成的子空间的概念，掌握子空间的交与和概念。(3)

理解向量的线性组合及向量组等价概念；掌握向量组的线性相关、线性无关概念及判别方法；掌握向量组的极大无关组和秩的概念及求法。(4)

掌握向量空间的维数与基的概念及其求

了解子空间的和是直和的概念；掌握子空间的和是直和的充要条件。(5)

掌握向量空间中向量坐标的概念及其意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及其性质。(6)

理解线性空间同构的概念、性质及其重要意义；掌握有限维线性空间同构的充要条件。(7)

熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的概念、求法，熟练掌握一般线性方程组的解的结构。

向量组的线性相性方程组的基础公式。

向量组的线

性相关性的

线性空间同

构的定义及

两个有限维向量空间同构的充要条件。

7

线性变换(1)

理解线性变换的定义，会判别一个变换是不是线性变换；掌握线性变换的简单(2)

掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法及其简单性质。(3)

理解线性变换的矩阵的概念，并能熟练地求出线性变换在给定基下的矩阵；掌握矩阵相似的概念及其基本性质。(4)

掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是σ与线性变换矩阵化简之间的关系。(5)

理解特征值和特征向量的概念并且熟练地掌握其求法；了解特征子空间、特征多项式的概念、特征多项式的性质。(6)

掌握线性变换(矩阵)可以对角化的条件及化简方法。

线性变换的矩阵、换(矩阵)可以对

角化的判定及其化法。

（矩阵可对角化的充要条件、线性变换的

值域、核定

序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点

8

欧氏空间

(1)

正确理解内积概念；掌握欧氏空间、向量的长度、两个向量的夹角、正交、距离等概念；掌握柯西—施瓦兹不等式。(2)

掌握标准正交基的概念，能熟练地求出一组标准正交基并且理解标准正交基的作用；掌握正交矩阵的概念、性质及其与标准正交基的关系。(3)

了解欧氏空间同构的概念及欧氏空间同构的充要条件。(4)

掌握正交变换的概念和性质，了解正交变换与正交矩阵的关系。(5)

正确理解和掌握两个子空间正交的概念

，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。(6)

掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。

欧氏空间的定义及性质、向量长同构的意义及同构与空间维数之换的概念及几个换化实二次型为标准形。

正交变换的几个等价关与实对称矩阵之间的关系。

9

二次型(1)

了解二次型、线性替换的概念，掌握二次型（对称矩阵）的标准形及化简二次型（对称矩阵）的方法。(2)

掌握实二次型的规范形的唯一性、惯性定理。(3)

理解正定二次型（矩阵）的定义、性质及判定；能够熟练应用非退化线性替换及矩阵的合同变换化简二次型、对称矩阵成标准形。(4)

熟练掌握用正交变换化实二次型为标准形。

矩阵的合同关系；二次型化标准形，惯性定理，矩阵正定的判定。

复数域和实数域上二次型的规范形二次型的判别条件。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况

序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标

6

向量空间

简单性质。辅助、课堂讨论、课后练习

4

14定义及判别。讲授、课堂讨论

2+212

序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标

6

向量空间向量的线性相关性：线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的定义及性质、替换定理、等价向量组的定义及性质、极大无关组、向量组秩的定义及性质。

讲授、、课后练习

5

14基和维数：生成子空间定义及性质、向量空间的基和维数的定义及性质、子空间及子空间的和与交的维数关系（维数公式）、余子空间的定义、子空间的和是直和的定义及充要条件。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

134坐标：坐标的定义、向量的和及数乘的坐标、过渡矩阵的定义及性质、基变换公式、同一向量在不同基下的坐标之间的关系（坐标变换公式）。讲授、课堂讨论、课后练习

4+2

13向量空间的同构：同构映射的概念、同构映射的性质以及同构的充要条件。讲授、课堂讨论、课后练习

2

13矩阵的秩齐次线性方程组的解空间：矩阵的行空间与列空间、行秩列秩与矩阵的秩、齐次线性方程组的一切解构成Fn

的子空间、齐次线性方程组的基础解系的概念、求法以及齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

123

7

线性变换线性映射：线性映射的概念与例子、线性映射的性质；线性映射的像与核的概念与性质、线性映射的像与核的基与维数。讲授、课堂讨论、课后练习

414

线性变换的运算：线性变换的加法、数量乘法、乘法、逆变换、方幂及多项式等的定义及性质。讲授、课堂讨论、课后练习

2+2

13线性变换和矩阵：线性变换的矩阵的定义、线性变换与矩阵的同构对应、向量的像的坐标公式、基变换前后线性变换矩阵间的关系、矩阵的相似及其基本性质。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

123不变子空间的概念及判别法、不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系。讲授、课堂讨论、课后练习

2

13本征值和本征向量：多项式的定义及其基本性质。讲授、课堂讨论、课后练习

4+2123可以对角化的矩阵：矩阵（线性变换）可对角化的定义、属于不同特征值的特征向量的线性无关性、特征子空间的维数与所属特征值的重数的关系、线性变换和矩阵可对角化的条件。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

课程目标1

序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标

8

欧氏空间向量的内积：欧氏空间的定义与内积的简单性质、向量的长度及其性质(包括柯西—施瓦茨不等式，三角形不等式)、两向量的夹角与正交。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

课程目标1

正交基：正交组、正交基与规范正交基的定义、存在性、性质及求法(施密特正交化方法)、向量与子交基的关系、欧氏空间的同构定义及充要条件。

讲授、课堂讨论、课后练习

4+2

123

正交变换：正交变换的定义、性质与充要条件、n

维欧氏空间的正交变换与

n

阶正交矩阵的关系。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

123

（对称变换的性质、对称变换的对角化、实对称矩阵的标准形。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

9

二次型二次型和对称矩阵：二次型的定义及其矩阵表示、二次型的秩的定义、线性变换的定义及其矩阵表示、非奇异线性变换前后二次型矩阵之间的关系、的合同变换求标准形。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

12复数域和实数域上二域上二次型的典范形及惯性定律。

讲授、课堂讨论、课后练习

2+2

正定二次型的定义及其判定、正定矩阵及其判别。

讲授、课堂讨论、课后练习

4

12

主轴问题：用正交变换求标准形。

讲授、课后练习

2

13

六、课程目标与考核内容

课程目标考核内容

课程目标1：掌握多项式理论、线性代数理论的基本概念、基础知识与基本理论，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习奠定知识基础。

n

级行列式的定义及性质、消元法与矩阵的初等行变换解一般线性方程组的方法、向量组的线性相关性的有关概念及判定方法、矩阵的秩同构映射的性质、线性映射（线性变换）的定义、性质及判别方法、线性变换运算及性质、矩阵相似的定义、线性变换与矩阵的特征值与作业的完成情况以及平时测验成绩。

课程目标2：了解重要概念的背景及重要定理的证明过程，培养学生的抽象思维、逻辑推理和代数运算能力，培养学生解决问题的基本意识，提高学生的专业能力，为后续专业课程的学习以及自主学习奠定坚实的能力基础。

行列式的计算、克兰姆法则、有关向量组的性质的基本定理、矩阵的次型的基本定理、惯性定律。同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。

课程目标3：使学生初步掌握由特殊到一般、具体到抽象的研究方法，了解有限与无限的辩证关系，掌握本课程所涉及的探索问题、解决问题的重要思其它相关学科的学习奠定坚实的思想方法基础。

用、维数公式的应用、向量空间的交与和的求法、直和的判定方法、线性方程组的解的结构定理的应用、线性变换的运算、矩阵相似性质含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。

课程目标考核内容

课程目标

4：培养学生的终身学习和专业发展意

识，能在高观点下处理初等代数教学中的相关问课堂启发、课后作业等方式，培养学生自主学习与职后发展的能力。

向量空间的定义、线性变换的定义的理解、欧式空间的定义、向量的

七、考核方式与评价细则考核方式比例考核/评价细则课堂出勤10%评价标准：根据学生上课出勤情况（1）全勤100分；10（3）迟到、早退、事假一次扣

5（4）病假、公假、丧假不扣分；（5）旷课三次以上不及格。平时作业、课堂表现10-20%评价标准：一个教学班按单双号分成两个小组，每次批改一个小组的作业，根据学生作业完成程

100A+，95A+

A，90A，8580在此标准下，少交一次作业扣10分。课堂表现好在上述基础上每次加2分，最高计100分。平时测验10-20%评价标准：1严格按照《高等代数

II》平时测验试题参考答案及评分细则进行阅卷。期末考试60%

II综合成绩100%

课堂出勤(10%）+平时作业、课堂表现（10-20%）+平时测验（10-20%）+期末考试（60%）

八、课程目标达成度评价参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：

课程目标课程目标-1课程目标-2课程目标-3课程目标-4权值wi0.2830.2830.2640.169十、持续改进课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况；根据本课程所支撑的毕业要求分解指标程大纲，实现持续改进。十一、推荐教材及参考书目1.推荐教材[1]