辽宁省大连市北方美术高级中学高三数学文下学期摸底试题含解析

辽宁省大连市北方美术高级中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b是实数，则“a＞|b|”是“a2＞b2”的(

) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先判断p?q与q?p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系解答： 解：“a＞|b|”能推出“a2＞b2”，但是当a=﹣2，b=1时，由a2＞b2”推不出“a＞|b|”“a＞|b|”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：B．点评：此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，考查充要条件的有关定义．2.若图1的框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是(

)A．？ B．？

C．？

D．？

参考答案：D3.已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为，则对任意，的最小值是

(

)A.

B．

C． D．

参考答案：B略4.已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A.函数f（x）在区间[]上为增函数B.函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC.函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称

D.将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象参考答案：C略5.命题“若x2≠4，则x≠2且x≠﹣2”的否命题为（）A．若x2=4，则x≠2且x≠﹣2 B．若x2≠4，则x=2且x=﹣2C．若x2≠4，则x=2或x=﹣2 D．若x2=4，则x=2或x=﹣2参考答案：D【考点】四种命题．【分析】将原命题：“若x2≠4，则x≠2且x≠﹣2”的条件、结论同时否定，即得到答案．【解答】解：“若x2≠4，则x≠2且x≠﹣2”的否命题是：“若x2=4，则x=2或x=﹣2”，故选：D．6.设是定义在R上的奇函数，当，则=(

)A.—3

B.—1

C.1

D.3参考答案：A略7.若实数满足则的最小值是（

）A．0

B．1

C．

D．9参考答案：【标准答案】:B【试题分析】:解出可行域的顶点，只需求出的最小值。【高考考点】:线性规划【易错提醒】:顶点解错【备考提示】:高考基本得分点。8.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有（

）种A.15 B.18 C.19 D.21参考答案：B略10.（5分）已知sin（+α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：D【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式及已知可求cosα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．解：∵sin（+α）=cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．【点评】：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义,若实数满足,则的最小值为

．参考答案：考点：二元一次不等式组表示的区域及运用．【易错点晴】本题设置了一道定义新概念的信息迁移题.其的目的意在考查在线性约束条件下新定义的函数的最小值的问题.求解时充分运用题设条件,先求出和,从二者的取值可以看出时,,此时,此时最小值.12.古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共

人．参考答案：195考点：等差数列的通项公式．专题：应用题；方程思想；等差数列与等比数列．分析：由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．解答： 解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．13.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14.中，角、、所对应的边分别是、、，若，，，则边__________．参考答案：解：∵，可得，又∵，，∵由余弦定理可得：．15.执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为

．参考答案：2316.点在曲线C：上运动，，且t的最大值为b，若，则的最小值为_____.参考答案：1【分析】首先可确定曲线表示圆心为，半径为的圆；令，则；的最大值为半径与圆心到点的距离之和，利用两点间距离公式求得，代入中利用最大值为可求得，将所求的式子变为，利用基本不等式求得结果.【详解】曲线可整理为：则曲线表示圆心为，半径为的圆设，则表示圆上的点到的距离则，整理得：又（当且仅当，即，时取等号），即的最小值为本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.17.设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．参考答案：26考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，，,,分别为,,的中点.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

参考答案：（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.

……………4分（Ⅱ）因为平面，所以.又因为，，所以平面.由已知,分别为线段,的中点，所以.则平面.而平面，所以平面平面.

…………………9分（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面.证明如下：

在直角三角形中，因为,,所以.在直角梯形中，因为，,所以，所以.又因为为的中点，所以.要使平面，只需使.因为平面，所以，又因为，,所以平面，而平面，所以.若，则∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分19.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3=，设t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①当0＜a＜时，设t（x）=0的两根为x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；单调减区间为（，）；②当a≥时，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；（3）证明：依题意得k==，＜k＜?＜＜?x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则h′（x）=1﹣，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则m′（x）=1﹣，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．20.已知矩阵，点，点.（Ⅰ）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度；（Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量．

参考答案：

解(1)由，，所以所以

(2)

得矩阵特征值为，

分别将代入方程组可解得矩阵属于特征值的特征向量为，当属于特征值的特征向量为．

略21.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？参考答案：（1）（2）质量指标值的样本平均数为质量指标值的样本方差为所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.（3）依题意=