北理电路分析基础 第五章

电路分析基础

电容和电感元件的伏安关系都涉及对电流、电压的微分或积分，我们称这两种元件为动态元件。至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。任何一个电路不是电阻电路便是动态电路。

KVL、KCL只取决于电路的联接方式即电路的拓扑结构，因而无论是电阻电路还是动态电路都要服从这一规律。

电容中电荷建立的电场存储着能量，电容器是一种贮能元件；电容器通过存贮电荷形成电场建立电压，理想电容器应是一种电荷与电压相约束的器件。

电容元件的定义一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用u－q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容器。图5-1

电容元件的符号u(t)i(t)q(t)

如果u－q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线。且不随时间而变，则此电容元件称为线性非时变电容元件，亦即

式中C为正常数，它是度量特性曲线斜率的，称为电容。在国际单位制中电容C的单位是法拉F(安•秒/伏)。(5-1)OuqC

1在图示的参考方向下我们有(5-2)(5-3)若u和i为非关联方向则(5-5)(5-4)图5-1电容的符号对(5-4)式积分可得(5-6)(5-7)

例5-1

电容与电压源相接如图5-2(a)所示，电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)，求电容电流。

图5-2线性电容对三角波电压源的响应图5-2线性电容对三角波电压源的响应图5-3

线性电容对三角波电流源的响应例5-2

电容与一电流源相接，如图5-3(a)，电流波形如图(b)中所示，试求电容电压。设u(0)＝0。

思考题

5-1

一个1F的电容，在某一时刻，其两端的电压为10v，能否算出该时刻的电流是多少？为什么？如果已知电压为u=5t2，且在某一时刻的瞬时值为10v，结果又如何？

5-2(1)试根据例5-1中分析所得的，在t＝0、0.25、0.5、0.75、1、1.25ms时的一组u和i的数据，绘出该电容的u－i特性曲线草图；

(2)试根据例5-2分析结果，重复(1)；

(3)同为一个1μF的电容，(1)、(2)结果是否相同？

设有一个1F的电容，求在下列各种电压波形作用时的伏安特性曲线；

(1)u＝10sintV；(2)u=10etV；(3)u＝10V。试判断下列各种说法是否正确：

(1)一个线性时不变电容可以用唯一的一条伏安特性曲线来表征；

(2)一个线性时不变电容可以用唯一的一条

u－q特性曲线来表征；

(3)一个线性时不变电容可以用唯一的一条特性曲线来表征。电容的VCR

反映了电容的两个重要性质，即电容电压的连续性和记忆性。

图5-6

1μF电容的电流及电压波形

246

80

-5

10

i(mA)

t(ms)

24

68020

u(V)t(ms)

若电容电流i(t)在闭区间[ta,tb]内有界，则电容电压uC(t)在开区间(ta,tb)内为连续的。特别对任何时间t且ta

<t<tb,有(5-8)(5-10)

设电容的初始电压u(t0)=U0(图5-7a)，由(5-7)式可得

图5-7

具有初始电压U0的电容(图a)及其等效电路(图b)

+uC(t)

-i(t)CuC(t0)=U0(a)

a

b(b)+

-＋

u1(t)－C

＋U0－uC(t)

a

bi(t)u1(t0)=0

电容C在某一时刻贮能只与该时刻t的电压有关,即

设在t1到t2期间对电容C充电，电容电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间供给电容的能量为(5-13)(5-14)图5-11

电感线圈及其磁通线

一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流i(t)同它的磁链Ψ(t)之间的关系可以用i－Ψ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。i

如果i－Ψ平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电感元件称为线性非时变电感元件，亦即(5-15)式中L为正常数，它是度量特性曲线斜率的，称为电感。国际单位制中L的单位是亨利H(韦伯/安)。oiL

1Ψ

当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，即电压和电流在关联参考方向时，则有(5-16)

(5-17)电压与电流为非关联参考方向时图5-12电感的符号对(5-17)式积分可得(5-18)(5-19)

电感电流和电感上所加的电压全部历史有关，采用初始电流i(t0)来反映t0以前所加电压的所有情况。思考题

5-7

试标出图5-14所示电路中开关S打开瞬间，电感两端电压的极性。图5-14

思考题5-7

根据对偶性可得电感电流具有连续性和记忆性。若电感电压u(t)在闭区间[ta,tb]内有界，则电感电流iL(t)在开区间(ta,tb)内为连续的。特别对任何时间t且ta<t<tb，有(5-21)(5-22)

具有初始电流I0的电感，在t≥t0时可以等效成一个初始电流为零的电感和一个电流值为I0的电流源并联的电路，如图图5-15

具有初始电流I0的电感(图a)及其等效电路(图b)iL(t)

+-(a)u(t)LiL(t0)=I0ab

+

-(b)u(t)iL(t)I0Li1(t0)=0i1(t)ab

状态