自适应(梯形和Simpson)算法报告

高等数值分析大作业问题描述用自适应梯形和Simpson公式计算积分:3100 10smdx1x3 x使其误差不超过10-6。要求：算法；程序代码；计算结果和必要分析说明算法分析自适应积分方法可以利用有限的计算量，针对数值变化的剧烈程度自动地在不同区间上选择不同的步长，使计算误差尽可能高，或者使得在不同的区间上都能达到指定的精度。对于任意一个计算区域，首先要判断在当前的步长下能不能达到指定的精度。如果达到指定的精度，那么该区域的积分就利用相应的公式计算出来；如果达不到，则步长需要减半，即原来的区域要一分为二，继续判断在该步长下是否达到要求。如果达不到，步长继续减半；如果达到要求，计算该区域积分后输出。梯形算法需要区域首尾两个点，步长减半后区间一分为二，产生三个点（两个区域端点和一个中点）。这三个点分别记为a,（a+b）/2,b。利用a和b的梯形算法计算结果记为S,利用分区间的梯形算法计算结果记为L+R。理论上，L+R的精度要高。根据误差来判断是否继续细分区间,根据计算步长的关系可以得到下面的区间关系图。图1积分区间的步长关系很明显,采用递归调用的方法可以逐步对每一个达到误差要求的区间求积分,把所以区间积分值累加就是最终的结果。这一过程表述为：最开始就将区间等分（两个端点和一个中点）,先判断积分的误差精度,如果达到要求就把该积分累加,否则等分区间,分为左右两

个区间再次积分，积分后继续判断误差。图2程序流程图计算结果3.1梯形公式采用复合梯形公式可以得到下面的计算结果：步长h等分区间数N积分值0.1206.720920.012005.0369160.00120004.7929540.0001200004.767817・•・•・•・•・真值4.76501546038038...3.2自适应法不论是采用梯形公式还是辛普森公式，它们的自适应算法总体都是一样的。唯一的区别是，辛普森法需要多算一个中点的函数值，以及各函数值的系数不同。都是自适应算法，梯

形公式和辛普森公式得到的结果如下表。积分结果梯形公式4.765015454306辛普森公式4.7650154687653.3结果分析积分表达式为被积函数：3积分表达式为被积函数：3100103 sm dx1x3 x100 10sin-x3 x简单地讨论一下被积函数的性质。采用自适应算法，是因为被积函数的波动较大，有的部分平缓，有的地方陡峭。对于陡峭的区域就需要加密处理。先看被积函数的图像。从图中看出函数在1附近的变化剧烈，而在3附近变化十分缓慢。再看被积函数的导数图像。先对图3被积函数图像图3被积函数图像HIoo□msosoHI图4被积函数导数的绝对值HIoo□msosoHI图4被积函数导数的绝对值4程序代码(C)#include"stdafx.h"#include"stdio.h"#include"math.h"#include"stdlib.h"doublef(doublex){return100/(x*x*x)*sin(10/x);}doubleinte1(doublea,doubleb,doubleh){//return0・5*h*(f(a)+f(b));//梯形公式returnh*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2))/6;//辛普森公式}doubleinte(doublea,doubleb,doubleh,doubleacc,doubleS){doubleL,R;L=inte1(a,b-h/2,h/2);R=inte1(b-h/2,b,h/2);if(abs(L+R-S)<=acc)returnL+R;elsereturninte(a,a+h/2,h/2,acc/2,L)+inte(a+h/2,b,h/2,acc/2,R);voidmainoFILE*OUFfopen(--zsy.w-w--