理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第12章第2节直接证明与间接证明

第十二章推理与证明、算法、复数第二节直接证明与间接证明A级·基础过关|固根基|1.(2019届淮南二中模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，下列假设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设“三个内角中至少有两个钝角”．故选B．2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需证()A．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：选A欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需证eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)，只需证(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2，故选A．3．(2019届玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：选B由数学归纳法的证明步骤可知，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立．故选B．4．若用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n3＝eq\f(n6＋n3,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．k3＋1B．(k＋1)3C．eq\f(（k＋1）6＋（k＋1）3,2)D．(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3解析：选D∵当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k3，∴当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，增加了(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3.故选D．5．(2019届阜新调研)设x，y，z为正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析：选C假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,z)))≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，∴假设a，b，c都小于2错误．∴a，b，cC．6．设a，b，c>0，证明：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c>0，根据基本不等式，有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加得，eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．7．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)＝eq\f(y＋z,x)>eq\f(2\r(yz),x)， ①eq\f(1,y)－1＝eq\f(1－y,y)＝eq\f(x＋z,y)>eq\f(2\r(xz),y)， ②eq\f(1,z)－1＝eq\f(1－z,z)＝eq\f(x＋y,z)>eq\f(2\r(xy),z)， ③又x，y，z为正数，由①×②×③，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8.8．若实数x，y，m满足|x－m|>|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2abeq\r(ab).解：(1)由题意知，|x2－1|>1，即x2－1>1或x2－1<－1，解得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，所以x∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)证明：对任意两个不相等的正数a，b，有a3＋b3>2ab·eq\r(ab)，a2b＋ab2>2abeq\r(ab).因为|a3＋b3－2abeq\r(ab)|－|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a3＋b3－2abeq\r(ab)|>|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|，即a3＋b3比a2b＋ab2远离2abeq\r(ab).B级·素养提升|练能力|a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.10．设实数c>0，整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立，则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．11．已知数列{an}满足a1＝a>2，an＝eq\r(an－1＋2)(n≥2，n∈N*)．(1)求证：对任意n∈N*，an>2恒成立；(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由．解：(1)证明：①当n＝1时，a1＝a>2，结论成立；②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即ak>2，则n＝k＋1时，ak＋1＝eq\r(ak＋2)>eq\r(2＋2)＝2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．故由①②及数学归纳法原理，