2023届高考数学二轮复习微专题6与不等式相关的三角最值问题作业

微专题6与不等式相关的三角最值问题1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，则b＋c的最大值为______．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinAsin(B－C)＝sinBsinCcosA，则eq\f(ab,c2)的最大值为________．4．(2018·南京盐城一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________．5．(2018·常州期末)已知△ABC中，AB＝AC＝eq\r(3)，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为________．6．(2018·南京盐城一模)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(2a－b,c)，且a＋b＝2.(1)求角C；(2)求边长c的最小值．8．(2018·南通泰州期末)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计)(1)若PB经过圆心，求点P到AD的距离；(2)设∠POD＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．微专题61．答案：eq\f(1,2).解析：由a2＋b2＝2c2，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(2ab,4ab)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值为eq\f(1,2).2．答案：2eq\r(3).解析：由余弦定理得coseq\f(π,3)＝eq\f(b2＋c2－3,2bc)，整理得b2＋c2＝3＋bc，则有(b＋c)2＝3＋3bc≤3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋b,2)))eq\s\up12(2)，即(b＋c)2≤12，所以b＋c≤2eq\r(3)，当且仅当b＝c时取等号．所以b＋c的最大值为2eq\r(3).3．答案：eq\f(3,2).解析：由sinAsin(B－C)＝sinBsinCcosA，得sinA(sinBcosC－cosBsinC)＝sinBsinCcosA，由正弦定理可得abcosC－accosB＝bccosA，由余弦定理可得ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)－ac·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，化简得a2＋b2＝3c2，又因为3c2＝a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，可得eq\f(ab,c2)≤eq\f(3,2)，所以eq\f(ab,c2)的最大值为eq\f(3,2).4．答案：eq\f(2\r(5),5).解析：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)abeq\r(1－cos2C)＝eq\f(1,2)eq\r(（ab）2－\f(（a2＋b2－c2）2,4))＝eq\f(1,2)eq\r(（ab）2－\f(（8－3c2）2,4))而2ab≤a2＋b2＝8－2c2ab≤4－2c2，所以S△ABC≤eq\f(1,2)eq\r(（4－c2）2－\f(（8－3c2）2,4))＝eq\f(1,4)eq\r(c2（16－5c2）)≤eq\f(1,4)×eq\f(5c2＋（16－5c2）,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，当且仅当a＝b，c2＝eq\f(8,5)时取等号．5．答案：eq\f(5\r(23),16).解析：设∠BAP＝α，∠CAP＝β，由余弦定理得PB2＝4－2eq\r(3)cosα，PC2＝4－2eq\r(3)cosβ.因为PB2＋PC2＝3，所以cosα＋cosβ＝eq\f(5\r(3),6).设sinα－sinβ＝t，两式平方相加得cos(α＋β)＝eq\f(1,24)＋t2≥eq\f(1,24)，当且仅当t＝0，即sinα＝sinβ时取等号，此时cosA＝cos(α＋β)的最小值为eq\f(1,24)，即sinA的最大值为eq\f(5\r(23),24)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC×sinA≤eq\f(5\r(23),16).6．答案：100.解析：由正弦定理得kb2＋ac＞19bc，则k大于eq\f(19bc－ac,b2)的最大值.eq\f(19bc－ac,b2)＝eq\f(（19b－a）c,b2)＜eq\f(（19b－a）（a＋b）,b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－9))eq\s\up12(2)＋100≤100.因此k≥100，即k的最小值为100.7．答案：(1)eq\f(π,3)；(2)1.解析：(1)由正弦定理可得eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(2a－b,c)＝eq\f(2sinA－sinB,sinC)，可得cosBsinC＝(2sinA－sinB)cosC，即sin(B＋C)＝2sinAcosC，sinA＝2sinAcosC，在△ABC中，sinA≠0，cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4－3ab，又因为ab≤eq\f(（a＋b）2,4)＝1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以c2＝4－3ab≥1，即c≥1，故c的最小值为1.8．答案：(1)16eq\r(5)m；(2)①eq\f(80sinθ,sinθ＋2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；②当sinθ＝2eq\r(2)－2时，绿化区域面积之和最大．解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．(1)直线PB的方程为y＝2x，半圆O的方程为x2＋y2＝402(y≥0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝402（y≥0），))得y＝16eq\r(5).所以，点P到AD的距离为16eq\r(5)m.(2)①由题意，得P(40cosθ，40sinθ)．直线PB的方程为y＋80＝eq\f(sinθ＋2,cosθ＋1)(x＋40)，令y＝0，得xE＝eq\f(80cosθ＋80,sinθ＋2)－40＝eq\f(80cosθ－40sinθ,sinθ＋2).直线PC的方程为y＋80＝eq\f(sinθ＋2,cosθ－1)(x－40)，令y＝0，得xF＝eq\f(80cosθ－80,sinθ＋2)＋40＝eq\f(80cosθ＋40sinθ,sinθ＋2).所以，EF的长度为f(θ)＝xF－xE＝eq\f(80sinθ,sinθ＋2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S1＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－\f(80sinθ,sinθ＋2)))×80＝eq\f(6400,sinθ＋2)，区域Ⅱ的面积为S2＝eq\f(1,2)×EF×40sinθ＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(80sinθ,sinθ＋2)))×40sinθ＝eq\f(1600sin2θ,sinθ＋2)，所以S1＋S2＝eq\f(1600sin2θ＋6400,sinθ＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))).设sinθ＋2＝t，则2＜t＜3，S1＋S2＝eq\f(1600（t－2）2＋6400,t)＝1600eq\b\lc\(\r