最优化模型与算法-基于Python实现 教案 ch06 凸优化算法

凸优化算法1．编程实现梯度投影算法以求解具有盒子约束的最小二乘问题： (6.7.1)其中，为已知参数。可自行设定数据及参数的值，步长分别使用固定步长规则和沿可行方向的Armijo规则。绘制迭代点处的目标函数值、梯度值的模长随迭代次数的变化曲线。略。2．编程实现坐标下降法以求解岭回归模型： (6.7.2)其中，为观测样本，，正则化项，为给定的正则化参数。坐标的选取分别使用随机化坐标下降法(将指标随机排序后进行遍历)和顺序遍历(顺序遍历指标)，比较算法性能是否有差异。绘制迭代点处的目标函数值随迭代次数的变化曲线，输出最优解、最优值和迭代次数，并与岭回归模型的解析解进行比较。略。3．编程实现坐标下降法以求解Lasso模型： (6.7.3)其中，正则化项。其他的设定与上题中的坐标下降法相同。注意Lasso模型不再具有解析解。略。ISTA算法的改进。本章介绍了ISTA算法求解Lasso模型，实际上，该算法可以进一步改进，A.Beck和M.Teboulle等人在2009年提出了一种加速方法FISTA[7]，显著加快了ISTA算法的收敛速度。编程实现FISTA算法，并与ISTA的性能进行比较。importnumpyasnp#定义L1范数的软阈值函数defsoft_thresholding(x,threshold):returnnp.sign(x)*np.maximum(np.abs(x)-threshold,0)#FISTA算法deffista_regression(X,y,lambda_,iterations=100,learning_rate=0.01):n_samples,n_features=X.shapew=np.zeros((n_features,1))z=np.zeros((n_features,1))t=1foriinrange(iterations):#计算梯度gradient=2*np.dot(X.T,(np.dot(X,w)-y))/n_samples#更新权重w_new=soft_thresholding(z-learning_rate*gradient,lambda_*learning_rate)#使用加速技巧更新z和tt_new=(1+np.sqrt(1+4*t**2))/2z=w_new+(t-1)/t_new*(w_new-w)w=w_newt=t_newreturnw#ISTA算法defista_regression(X,y,lambda_,iterations=100,learning_rate=0.01):n_samples,n_features=X.shapew=np.zeros((n_features,1))foriinrange(iterations):#计算梯度gradient=2*np.dot(X.T,(np.dot(X,w)-y))/n_samples#更新权重w=soft_thresholding(w-learning_rate*gradient,lambda_*learning_rate)returnw#示例数据X=np.array([[1,2],[2,3],[3,4]])y=np.array([[2],[3],[4]])#设置超参数lambda_=0.1iterations=100learning_rate=0.01#使用FISTA算法进行回归fista_weights=fista_regression(X,y,lambda_,iterations,learning_rate)#使用ISTA算法进行回归ista_weights=ista_regression(X,y,lambda_,iterations,learning_rate)print("FISTA算法得到的权重：")print(fista_weights)print("\nISTA算法得到的权重：")print(ista_weights)5．编程实现交替方向乘子(ADMM)算法以求解广义的Lasso模型： (6.7.4)其中，。为如下形式的差分矩阵： (6.7.5)略。6．编程实现SVRG和SAGA算法，分别求解岭回归模型： (6.7.6)其中，为观测样本，，正则化项，为给定的正则化参数。importnumpyasnp#定义sigmoid函数defsigmoid(x):return1/(1+np.exp(-x))#岭回归目标函数的梯度计算defridge_regression_gradient(X,y,w,A):n_samples,n_features=X.shapegradient=2*np.dot(X.T,(np.dot(X,w)-y))/n_samples+2*A*wreturngradient#SVRG算法defsvrg_ridge_regression(X,y,A,learning_rate=0.01,iterations=100,m=100):n_samples,n_features=X.shapew=np.zeros((n_features,1))#计算所有样本的梯度full_gradient=ridge_regression_gradient(X,y,w,A)foriinrange(iterations):#从所有样本中随机选择m个样本indices=np.random.choice(n_samples,m,replace=False)X_batch=X[indices]y_batch=y[indices]#计算当前批次样本的梯度batch_gradient=ridge_regression_gradient(X_batch,y_batch,w,A)#使用全局梯度更新w_oldw_old=w.copy()w=w-learning_rate*full_gradient#使用batch梯度更新wforjinrange(m):index=indices[j]x_j=X[index,:].reshape(-1,1)y_j=y[index]w=w-learning_rate*(ridge_regression_gradient(x_j,y_j,w_old,A)-batch_gradient+full_gradient)returnw#SAGA算法defsaga_ridge_regression(X,y,A,learning_rate=0.01,iterations=100,m=100):n_samples,n_features=X.shapew=np.zeros((n_features,1))#计算每个样本的梯度，并初始化平均梯度为全局梯度gradients=[]foriinrange(n_samples):x_i=X[i,:].reshape(-1,1)y_i=y[i]gradient_i=ridge_regression_gradient(x_i,y_i,w,A)gradients.append(gradient_i)avg_gradient=np.mean(np.array(gradients),axis=0)foriinrange(iterations):#从所有样本中随机选择m个样本indices=np.random.choice(n_samples,m,replace=False)X_batch=X[indices]y_batch=y[indices]#计算当前批次样本的变化量delta_gradients=[]forjinrange(m):index=indices[j]x_j=X[index,:].reshape(-1,1)y_j=y[index]gradient_j=ridge_regression_gradient(x_j,y_j,w,A)delta_gradient_j=gradient_j-gradients[index]gradients[index]=gradient_jdelta_gradients.append(delta_gradient_j)#更新平均梯度delta_avg_gradient=np.mean(np.array(delta_gradients),axis=0)avg_gradient=avg_gradient+delta_avg_gradient#更新权重w=w-learning_rate*avg_gradientreturnw#示例数据X=np.random.randn(100,10)w_true=np.random.randn(10,1)y=sigmoid(np.dot(X,w_true)+0.1*np.random.randn(100,1))#设置超参数A=0.1learning_rate=0.01iterations=1000m=50#使用SVRG算法