2024届淮南市重点中学数学九年级第一学期期末经典试题含解析

2024届淮南市重点中学数学九年级第一学期期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知下列命题:①若，则；②当时，若，则；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个2．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝()A． B． C． D．3．若∽，相似比为，则与的周长比为（）A． B． C． D．4．已知两个相似三角形的面积比为4：9，则周长的比为()A．2：3 B．4：9C．3：2 D．5．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．= B．=C．= D．=6．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为，且时间与高度的关系式为，若此时炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒7．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．38．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶59．如图平行四边变形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3，AE交BD于F，则S△BFE∶S△FDA等于（）A．2∶5 B．4∶9 C．4∶25 D．2∶310．如图，∠1=∠2A．∠C=∠D B．∠B=∠AED11．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm12．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为A．46° B．53° C．56° D．71°二、填空题（每题4分，共24分）13．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．15．计算：______．16．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．17．方程x2＝2020x的解是_____．18．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，则⊙O的半径的长是______．三、解答题（共78分）19．（8分）计算的值.20．（8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．21．（8分）（问题情境）如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（探究展示）(1)证明：AM=AD+MC；(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展延伸）(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（10分）观察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣＝﹣，﹣＝﹣（1）猜想：﹣×＝（写成和的形式）（2）你发现的规律是：﹣×＝；（n为正整数）（3）用规律计算：（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣×）+（﹣×）．23．（10分）已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，4），B（4，4），C(6，0）.（1）△ABC的面积是.（2）请以原点O为位似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2，变换后点A、B的对应点分别为点A'、B'，点B'在第一象限；（3）若P（a,b)为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为.25．（12分）已知关于x的一元二次方程x1=1（1－m）x－m1有两个实数根为x1，x1．（1）求m的取值范围；（1）设y=x1+x1，求当m为何值时，y有最小值．26．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】先写出每个命题的逆命题，再分别根据绝对值的意义、不等式的性质、直角三角形的性质和判定、矩形的性质和判定依次对各命题进行判断即可．【题目详解】解：①的原命题：若，则，是假命题；①的逆命题：若，则，是真题，故①不符合题意；②的原命题：当时，若，则，根据不等式的基本性质知该命题是真命题；②的逆命题：当时，若，则，也是真命题，故②符合题意；③的原命题：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；③的逆命题：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，也是真命题，故③符合题意；④的原命题：矩形的两条对角线相等，是真命题；④的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故④不符合题意．综上，原命题与逆命题均为真命题的是②③，共个，故选B．【题目点拨】本题考查了命题和定理、实数的绝对值、不等式的性质、直角三角形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识，属于基本题目，熟练掌握以上基本知识是解题的关键．2、B【解题分析】设AB=x，求出BC=x，CD=AC=x，求出BD为（x+x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．【题目详解】解：设AB=x，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC=x，

由勾股定理得：AC==x，∴AC=CD=x∴BD=BC+CD=x+x，

∴tan22.5°=tanD==故选B．【题目点拨】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x能求出BD=x+x是解此题的关键．3、B【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比解答即可.【题目详解】解：∵∽，相似比为，∴与的周长比为.故选：B.【题目点拨】本题考查的是相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.4、A【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【题目详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，

∴两个相似三角形的相似比为2：1，

∴这两个相似三角形的周长之比为2：1．故选A【题目点拨】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．5、A【解题分析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．6、B【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．【题目详解】根据题意可得：函数的对称轴为直线x=，即当x=10时函数达到最大值．故选B．【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的对称性，属于中等难度题型．理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．7、A【解题分析】试题分析：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣6），∴，解得k=﹣1．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8、A【解题分析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴，，∴，∴，∴，即.故选A.点睛：若，则，.9、C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BE，由平行得相似，即△BEF∽△DAF，再利用相似比解答本题．【题目详解】∵，

∴，∵四边形是平行四边形，

∴，∥，

∴，，

∴，，故选：C．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．正确运用相似三角形的相似比是解题的关键．10、D【解题分析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．【题目详解】解：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，

∴∠DAE=∠BAC，

A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，

∴△ADE∽△ACB，∴AEAB∴AB·故本选项错误；

B、∵∠B=∠AED，∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ACB∴AEAB∴AB·故本选项错误；

C、∵AEAB=ADAC，∠∴△ADE∽△ACB，∴AEAB∴AB·故本选项错误；

D、∵∠DAE=∠BAC，AEAC=ADAB，

∴△∴ADAB∴AB·故本选项正确；

故选：D．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．11、C【分析】连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．【题目详解】连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故选C．【题目点拨】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．12、C【解题分析】试题分析：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°．∵∠ADB和∠ACB都是弧AB对的圆周角，∴∠ADB=∠ACB=56°．故选C．二、填空题（每题4分，共24分）13、0.5【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【题目详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m【题目点拨】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.14、【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.【题目详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，∴EM为△BAD的中位线，∴,在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，由勾股定理得，AB=∵CE为Rt△ACB斜边的中线，∴,在△CEM中，,即，∴CM的最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.15、【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解．【题目详解】解：．故答案为：【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．16、1【解题分析】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=1，解得：a=1．故答案是：1．考点：根与系数的关系．17、x1＝0，x2＝1．【分析】利用因式分解法求解可得．【题目详解】移项得：x2﹣1x＝0，∴x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．【题目点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18、2.5【分析】连接AC，根据∠ABC=90°可知AC是⊙O的直径，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的长，进而得出结论．【题目详解】解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∴∠D=90°，

∵AD=4，CD=3，

∴AC=5,∴⊙O的半径=2.5,故答案为：2.5.【题目点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．三、解答题（共78分）19、【分析】分别根据有理数的乘方、负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；【题目详解】解：原式；【题目点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键.20、（1）证明见解析；（2）BC=1；【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【题目详解】（1）连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝2，∵OP∥BC，∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC＝1．【题目点拨】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．21、(1)证明见解析；(2)AM=DE+BM成立，证明见解析；(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可;（2）过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证；（3）AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立.【题目详解】(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．在△ADE和△NCE中，∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．(2)AM=DE+BM成立．证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．(3)①结论AM=AD+MC仍然成立．②结论AM=DE+BM不成立．【题目点拨】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质.22、（1）﹣；（2）﹣；（3）﹣．【分析】（1）根据所给式子进行求解即可；（2）根据已知式子可得到；（3）分别算出括号里的式子然后相加即可；【题目详解】解：（1）由所给的已知发现乘积的等于和，∴，故答案为；（2），故答案为；（3），，．【题目点拨】本题主要考查了找规律数字运算，准确计算是解题的关键．23、（1）；（2）四边形ABCD面积有最大值．【分析】（1）已知B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．

（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．【题目详解】（1）∵B（1，0），∴OB＝1；∵OC＝3BO，∴C（0，﹣3）；∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），∴；解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，得方程x2+x﹣3＝0解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴，解这个方程组，得，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+•DM•（AN+ON）＝+2•DM设D（x，x2+x﹣3），M（x，﹣x﹣3），DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3，当x＝﹣2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值=+2×3=．【题目点拨】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．24、（1）12；（2）作图见详解；（3）.【分析】（1）先以AB为底，计算三角形的高，利用面积公式即可求出△ABC的面积；（2）根据题意利用位似中心相关方法，画出△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2