浙江省杭州市西湖区仁和实验学校2023-2022学年九年级下学期数学第一次月考测试题（含解析）

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2023-2022学年第二学期九年级数学第一次月考测试题（附答案）

一、选择题（共30分)

1．若＝，则的值为（）

A．B．C．D．

2．已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（）

A．B．C．D．

3．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（）

A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm

4．把抛物线y＝3x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）

A．y＝3（x+3）2﹣2B．y＝3（x+3）2+2

C．y＝3（x﹣3）2﹣2D．y＝3（x﹣3）2+2

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（）

A．B．C．D．

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝35°，则∠OBA的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．55°

7．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，则△ODE的面积与△OBC的面积比是（）

A．B．C．2D．4

8．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1

9．如图，⊙O的半径为8，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度分别沿B→C，C→D运动，点F运动到点D时停止，点E运动到点C时停止．设运动时间为t（单位：s），△OEF的面积为S（单位：cm2），则S与t的函数关系可用图象表示为（）

A．B．C．D．

二、填空题（共24分)

11．抛物线y＝﹣x2﹣6x+2的对称轴为直线．

12．扇形半径为3cm，弧长为5πcm，则它的面积为cm2．

13．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是米．

14．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．

15．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝cm．

16．已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为；

（2）当抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若△OMN与△AOB相似，则点M的坐标为．

三、解答题（共66分)

17．计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°

18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2、3、4、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如表：

摸球总次数20306090120180240330450

“和为7”出现的频数10132430375882110150

“和为7”出现的频率0.500.430.400.330.310.320.340.330.33

解答下列问题：

（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率是；

（2）当x＝5时，请用列表法或树状图法计算“和为7”的概率．

19．如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．

（1）请在网格中画出线段AC及点B经过的路径．

（2）求B经过路径长．

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）求EF的长．

21．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．

（1）求证：BD＝CD；

（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．

22．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为x米．

（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．

（2）若饲养场的面积为270m2，求x的值．

（3）当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少m2？

23．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在

P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S（直接写出答案即可）

24．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．

（1）求点D的坐标．

（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．

①求该抛物线的解析式；

②连接CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共30分)

1．解：∵＝，

∴3a＝5b，

∴a＝b，

∴＝＝，

故选：A．

2．解：∵粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔共有2+3＝5支粉笔，其中黄色粉笔有2支，

∴从中任取一支粉笔，取出黄色粉笔的概率是＝．

故选：B．

3．解：如图

∵AE＝AB＝4cm

∴OA＝＝＝5cm．

故选：B．

4．解：原抛物线的顶点为（0，0），先向左平移3个单位，再向上平移2个单位．那么新抛物线的顶点为（﹣3，2）．可设新抛物线的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，代入得：y＝3（x+3）2+2．

故选：B．

5．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，cosB＝＝．

故选：B．

6．解：∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣70°）＝55°．

故选：D．

7．解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，即＝，

DE∥BC，

∴△DOE∽△COB，

∴＝（）2＝，

故选：B．

8．解：抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x＝﹣2，且开口向下，x＝﹣2时取得最大值．

∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．

∴y3＜y1＜y2．

故选：C．

9．解：连接OP，如图所示：

∵AB⊥CD，PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，

∴四边形ONPM是矩形，

∴OP＝MN，

又∵点Q为MN的中点，

∴点Q为OP的中点，

则OQ＝OP＝4，

点Q走过的路径长＝＝2π．

故选：A．

10．解：∵在矩形ABCD中，AB＝2cm，

∴CD＝AB＝2cm，

∵点E、点F的速度都是1cm/s，

∴BE＝t、CE＝4﹣t、CF＝t、DF＝2﹣t，

∵O是对角线AC、BD的交点，

∴点O到BC的距离是1，到CD的距离是2，

①0≤t≤2时，

△OEF的面积为S＝S△BCD﹣S△OBE﹣S△CEF﹣S△ODF

＝×4×2﹣t1﹣（4﹣t）t﹣（2﹣t）2

＝4﹣t﹣2t+t2﹣2+t

＝t2﹣t+2，

②2＜t≤4时，

△OEF的面积为S＝S△BCD﹣S△OBE﹣S△CEF

＝×4×2﹣t1﹣（4﹣t）2

＝4﹣t﹣4+t

＝t，

纵观各选项，只有A选项图形符合．

故选：A．

二、填空题（共24分)

11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+2＝﹣（x+3）2+11，

∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，

故答案为：x＝﹣3．

12．解：扇形的面积为：lR＝×3×5π＝πcm2．

故答案为：π．

13．解：把y＝3.05代入y＝中得：

x1＝1.5，x2＝﹣1.5（舍去），

∴l＝1.5+2.5＝4米．

故答案为：4

14．解：作B点关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，AB′交MN于P′，如图，

∵P′B＝P′B′，

∴P′A+P′B＝P′A+P′B′＝AB′，

∴此时P′A+P′B的值最小，

∵点A是半圆上一个三等分点，

∴∠AON＝60°，

∵点B是弧AN的中点，

∴∠BPN＝∠B′ON＝30°，

∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，

∴△AOB′为等腰直角三角形，

∴AB′＝OA＝3，

∴AP+BP的最小值为3．

故答案为3．

15．解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，

∵AE＝AD，AG∥BC，

∴△AEG∽△DEC，

∴＝＝，

又∵AD是△ABC的中线，

∴BC＝2CD，

∴＝，

∵AG∥BC，

∴△AFG∽△BFC，

∴＝＝，

∴BF＝4AF＝8cm，

∴AB＝AF+BF＝10cm，

故答案为：10．

16．解：（1）直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，

则点A、B的坐标分别为：（，0）、（0，﹣5），

则抛物线的顶点为（，0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+5x﹣，

故答案为：y＝﹣x2+5x﹣；

（2）设点M（m，2m﹣5），点N（x，y），

将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得：

﹣（x﹣m）2+2m﹣5＝2x﹣5，

x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，

（x﹣m）（x﹣m+2）＝0，

则x＝m或m﹣2，故点N（m﹣2，2m﹣9），

则MN＝2，则AB＝，

①当∠OMN＝90°时，

则直线OM表达式中的k值为﹣，

即＝﹣，解得：m＝2，

故点M、N的坐标分别为：（2，﹣1）、（0，﹣5），

则OM＝，ON＝5，

经验证：，满足△OMN与△AOB相似，

故点M（2，﹣1）；

②当∠ONM＝90°时，

同理可得：点M（4，3）；

③当∠MON＝90°时，

过点M、N分别作y轴的垂线交于点G、H，

∵∠GMO+∠GOM＝90°，∠GOM+∠HON＝90°，

∴∠GMO＝∠HON＝α，则tan∠GMO＝tan∠HON，

即：，解得：m＝3，

故点M（3，1）（△OMN为等腰直角三角形，故舍去）；

综上，点M的坐标为：（2，﹣1）、（4，3），

故答案为：（2，﹣1）、（4，3）．

三、解答题（共66分)

17．解：原式＝3×+﹣2×

＝+﹣

＝．

18．解：（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为7”的概率是0.33；

故答案为：0.33；

（2）当x＝5时，如图，

共有12种情况，和是6的情况共2种，“和为7”的概率＝＝；

19．解：（1）如图，线段AC，即为所求．

（2）∵AB＝AC＝＝5，∠BAC＝90°，

∴的长＝＝．

20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°，

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠ABE，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，

∴BE＝＝10，DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，

∴，

解得：EF＝．

21．（1）证明：连接AD，

∵AB为⊙O直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD；

（2）解：连接OE，

∵AB＝4，∠BAC＝45°，

∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，

∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．

22．解：（1）由图可得，

BC的长是60﹣3x+1+2＝（63﹣3x）（米），

即BC的长是（63﹣3x）米；

（2）令x（63﹣3x）＝270，

解得，x1＝6，x2＝15，

∵63﹣3x≤27，得x≥12，

∴x＝15，

即x的值是15；

（3）设饲养场的面积是Sm2，

S＝x（63﹣3x）＝﹣3（x﹣）2+，

∵63﹣3x≤27，得x≥12，

∴当x＝12时，S取得最大值，此时S＝324，

答：当x为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为324m2．

23．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，

∴∠BPE+∠BEP＝150°，

又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，

∴∠BPE+∠CPF＝150°，

∴∠BEP＝∠CPF，

∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）解：①结论：△BPE∽△CFP．

理由：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，

∴∠BPE+∠BEP＝150°，

又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，

∴∠BPE+∠CPF＝150°，

∴∠BEP＝∠CPF，

∴△BPE∽△CFP

②结论：△BPE与△PFE相似．

理由：∵△BPE∽△CFP，

∴＝，而CP＝BP，因此＝，

又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP＝∠PEF．

分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM＝PN．

连AP，在Rt△ABP中，由∠B＝30°，AB＝4，可得AP＝2．

所以PM＝，所以PN＝，

所以S＝PN×EF＝m．

24．解：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠DBF＝∠BAO，

又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，

∴D的坐标是（3，1），

（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，

解得：b＝，

∴抛物线的解析式为y＝．

②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，

∴C（，1），

∵C、D两点的纵坐标都为1，

∴CD∥x轴，

∴∠BCD＝∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余，

要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，

设P的坐标为（x，），

（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，

则tan∠POB＝tan∠BAO，即，

∴，

解得：x1＝0（舍去），，