数学人教A版（2023）必修第一册1.3集合的基本运算（共27张ppt）

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1.3集合的基本运算

第一章集合与常用逻辑用语

创设情境：

某兴趣小组有20名学生，学号分别是1，2，3，…，20，现新到a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.

(1)至少读过一本书的学生有2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20.

(2)同时读了a，b两本书的学生有6，12，18.

(3)一本书也没有读的学生有1,5,7，11，13，17,19.

(1)至少读过一本书的有哪些学生？

(2)同时读了a，b两本书的有哪些学生？

(3)一本书也没有读的有哪些学生？

设集合A={读过新书a}，B={读过新书b}，上述问题，与集合A，B的运算有什么联系？

某兴趣小组有20名学生，学号分别是1，2，3，…，20，现新到a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.

设集合A={读过新书a}，B={读过新书b}，上述问题，与集合A，B的运算有什么联系？

[提示]

思考我们知道，实数有加、减、乘、除等运算，集合是否也有类似的运算呢？

问题：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}；

(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}．

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．

并集

知识讲解

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（unionset），记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，

可用Venn图表示．

A

B

A∪B

新知学习

并集

A∪B=B

A

B

注意

B

问题：观察下面的集合，集合A、B与集合C之间有什么关系？

(1)A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8}；

(2)A={x|x是二中今年在校的女同学}，B={x|x是二中今年在校的高一年级同学，C={x|x是二中今年在校的高一年级女同学}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．

交集

知识讲解

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集（intersectionset），记作A∩B（读作“A交B”），即

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，

可用Venn图表示．

①AA＝；

②A＝；

③AB＝AA____B

A

交集的性质

举例说明

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围.在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。

例如方程(x-2)(x-3)=0的解集，

在有理数范围内只有一个解2,即

{x∈Q|(x-2)(x-3)=0}={2};

在实数范围内有三个解：2，,,即

{x∈R∣(x2)(3)=0}={2，,}.

全集与补集的概念

概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。

记作：U，通常也把给定的集合作为全集

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。

记作：A，即A={x∣x∈U,且xA}（A是U中不属于A的所有元素组成的集合）.

A

A

Venn图

补充说明

(1）补集是相对于全集而言的，求一个集合的补集，结果因全集的不同而不同．所以求补集前，要先明确全集．

(2）补集既是集合间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算

(3）符号A有三层意思：

A={x|x∈U，且xA};

A是U的一个子集，及（A)U;

A表示一个集合。

(4）补集是相对于全集而言，如果没有定义全集，那么就不存在补集的说法；并且，补集的元素不能超出全集的范围。

德摩根定律

（1）（A∩B）=（A）U（）

U

AB

A∩B

U

AB

U

AB

U

AB

U

AB

A

（A∩B）

（A）U（）

德摩根定律

（2）（AUB）=（A）∩（）

U

AB

A∩B

U

AB

U

AB

A

U

AB

U

AB

（AUB）

（A）∩（）

德摩根定律

（2）（AUB）=（A）∩（）

U

AB

A∩B

U

AB

U

AB

A

U

AB

U

AB

（AUB）

（A）∩（）

解：根据题意可知：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以

UA={4,5,6,7,8}，

UB={1,2,7,8}．

例题：设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求UA，UB．

解：根据三角形的分类可知

A∩B＝.

A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

例题：设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，U(A∪B).

∴U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．

利用学过的知识填空：

（1）A∩B____A，B____A∪B，A∩B____A∪B（填写集合间的关系）

（2）若AB，则A∩B=_____，A∪B＝_______，反过来是否成立？

A

B

求下列两个集合的并集和交集：

（1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}；

（2）A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|－2＜x＜2}；

解：（1）A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}，

A∩B＝{1，2，3}．

A∩B＝{x|－1＜x＜2}．

（2）A∪B＝{x|x＞－2}，

设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）

A．{2}B．{1，2，4}

C．{1，2，4，6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

B

新知探究

若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝（）

1

A．{3}B．{x|x≥1}

C．{2，3}D．{1，2}

若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B等于（）

2

A．{x|x＞－2}B．{x|x＞－1}

C．{x|－2＜x＜－1}D．{x|－1＜x＜2}

D

A

目标检测

归纳总结、布置作业

1、如何理解并集和交集？它们之间有什么联系与区别？

（1）通过集合的交、并运算，可以得到与原集合紧密关联的交集，并集；

（2）交集、并集是一个集合，要关注集合元素的特征；

归纳总结、布置作业

2、如何求两个集合的并集和交集？

（1）在求集合的交集并集时，为增强直观性，应数形结合的研究问题；

（2）求连续数集的交集并集时可运用数轴来表示；

（3）在研究元素个数比较少的集合或研究抽象集合关系时，可运用韦恩图来表示.

归纳总结、布置作业

作业：

教科书习题1.3第1，2，3题;

2.课后练习.

并集、交集和补集的性质、运算律及常用结论如下表：

并集交集补集

性质A∪A＝__A__；A∪＝__A__A∩A＝__A__；A∩＝____A∪（UA）＝U，