第五章：线弹性断裂力学1

第五章线弹性断裂力学

断裂力学的核心内容从这一章我们正式开始讲授，其学习的基础就是我们前面讲授的弹性力学的有关知识。§5.1引言§5.2柯洛索夫—Muskhelishvili应力函数§5.3Westergaard应力函数§5.4Ⅰ型裂纹§5.5Ⅱ型裂纹§5.6Ⅲ型裂纹§5.7叠加原理的应用§5.8应力强度因子与断裂韧度应力强度因子的基本概念断裂韧性应力强度因子的计算§5.9无限大板中裂纹体受集中力及集中力偶作用时的应力强度因子§5.10其它一些情况下求应力强度因子无限大板中集中力作用于裂纹上表面无限大板中相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上无限大板中裂纹面上作用对称于x、y轴的集中力无限大板中裂纹面上作用对称于x、y分布载荷无限大板中裂纹面上受对称于x轴的任意分布载荷的作用有限宽板中心裂纹受无限远分布载荷的作用有限宽板中边缘裂纹受无限远分布载荷的作用有限宽板中心裂纹受有限远对称于x轴点载荷的作用应用叠加原理求K的例子－单边受无限远分布力和裂纹面单边受点力的作用无限大弹性体中有一圆盘形裂纹,无限远处在垂直于裂纹面的方向上作用均匀拉应力§5.11能量释放率及其与应力强度因子间的关系基本概念常位移情形常载荷情形一般的情况下贝克纳尔公式G与K之间的关系裂纹应变能小结§5.12裂纹应力场的作用范围5.2柯洛索夫—Muskhelishvili应力函数

5.2.1裂纹的三种基本类型图5.1裂纹的三种基本类型(图中箭头表示相对运动方向)

I型裂纹代表在垂直于裂纹面的拉应力作用下，裂纹表面位移垂直于裂纹面的情况，所以又称之为张开型。II型及III型裂纹代表在剪应力作用下，裂纹表面互相滑移的情形，称之为剪切型裂纹。其中II型裂纹称为面内剪切型裂纹；III型裂纹称之为面外剪切型或反平面裂纹。5.2.2柯洛索夫—Muskhelishvili函数5.2.1.1

I型裂纹图5.2单向拉伸的中心穿透裂纹此两式为引入之解析函数，需验证是否满足边界条件。代入柯洛索夫公式就整个大平板而言就上述推导，证明了内外边界条件都是满足的。就裂纹面而言5.2.1.2II型裂纹图5.4II型裂纹平板边界条件裂纹表面边界条件此引入之解析函数，满足上述边界条件。5.3Westergaard应力函数

Westergaard(1939)定义了一个复应函数，设为解析函数。记，…，为其导数，，…，表示它的积分。根据解析函数的性质，其导数和积分仍为解析函数。应力函数与应力分量之间的关系应满足(3.15)式。这样，应力函数就满足了双调和方程的条件。5.4I型裂纹对I型裂纹，Westergaard提出的应力函数为（3.15）（3.15）应力的复变函数表达式位移的复变函数表达式

称为I型裂纹的Westergaard函数。图5.2所示的问题，其Westergaard函数为把上式代入到应力的复变函数表达式中可得：把Westgaard函数代入到位移的复变函数表达式中可得：图5.5裂纹前缘坐标(,)称为I型裂纹的应力强度因子

坐标变换，得到在极坐标中的应力分量奇异项为裂纹端部（r<<a）的位移场为：

证明I型Griffith裂纹变形后近似为一椭圆。（习题）

I型裂纹的Westergaard函数与柯洛索夫公式应力函数之间的关系

5.5II型裂纹称为II型裂纹的Westergaard函数。（边界条件：）裂纹端点附近的应力场及位移场为：

II型裂纹的应力强度因子。在极坐标系中的应力分量与位移分量为：

II型裂纹的Westergaard函数与柯洛索夫公式应力函数之间的关系。5.6Ⅲ型裂纹图5.9III型裂纹本问题不是平面问题，故不能直接应用弹性力学中平面问题的解法。但在此问题中各物理量都与z无关，只依赖于坐标x,y，所以仍然是二维问题。通常称之为反平面或法平面剪切问题。反平面剪切问题的特点是:因此问题归结为在给定的边界条件下解拉普拉斯方程，而w必须为调和函数。所以可以取:ZIII

称之为III型裂纹的Westergaard函数。

裂纹端部附近区域内的应力场和位移场：

称为III型裂纹的应力强度因子。III型裂纹在柱坐标中的应力分量为：将上面I,II,III型三种裂纹端部的应力场与位移场的公式，归纳为统一的形式：5.7叠加原理的应用在线弹性断裂力学中叠加原理仍然有效。对于三种型式的裂纹，应用叠加原理后可使问题变换如下：如图6.11所示，三种在无穷远处（板的边缘）受载荷作用而裂纹表面应力自由的裂纹问题（问题A），可以转化为问题B与C的叠加。问题B相当于除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。因此问题B是一般的弹性力学问题。它的解在研究裂纹尖端的应力奇异性时是可以不予考虑的。问题C是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。因此在裂纹端部问题的意义上，问题A等价于问题C。对于问题C三种型式的裂纹的解有共同的表达式：裂纹面上的边界条件为