波束形成基础原理总结

波束赋形算法研究包括以下几个方面:常规的波束赋形算法研究。即研究如何加强感兴趣信号,提高信道处理增益,研究的是一般的波束赋形问题。鲁棒性波束赋形算法研究。研究在智能天线阵列非理想情况下,即当阵元存在位置偏差、角度估计误差、各阵元到达基带通路的不一致性、天线校准误差等情况下,如何保证智能天线波束赋形算法的有效性问题。零陷算法研究。研究在恶劣的通信环境下,即当存在强干扰情况下,如何保证对感兴趣信号增益不变,而在强干扰源方向形成零陷,从而消除干扰,达到有效地估计出感兴趣信号的目的。阵列天线基本概念（见《基站天线波束赋形及其应用研究_白晓平》）阵列天线（又称天线阵）是由若干离散的具有不同的振幅和相位的辐射单元按一定规律排列并相互连接在一起构成的天线系统。利用电磁波的干扰与叠加，阵列天线可以加强在所需方向的辐射信号，并减少在非期望方向的电磁波干扰，因此它具有较强的辐射方向性。组成天线阵的辐射单元称为天线元或阵元。相邻天线元间的距离称为阵间距。按照天线元的排列方式，天线阵可分为直线阵，平面阵和立体阵。阵列天线的方向性理论主要包括阵列方向性分析和阵列方向性综合。前者是指在已知阵元排列方式、阵元数目、阵间距、阵元电流的幅度、相位分布的情况下分析得出天线阵方向性的过程；后者是指定预期的阵列方向图，通过算法寻求对应于该方向图的阵元个数、阵间距、阵元电流分布规律等。对于无源阵，一般来说分析和综合是可逆的。阵列天线分析方法天线的远区场特性是通常所说的天线辐射特性。天线的近、远区场的划分比较复杂，一般而言，以场源为中心，在三个波长范围内的区域，通常称为近区场，也可称为感应场；在以场源为中心，半径为三个波长之外的空间范围称为远区场，也可称为辐射场。因此，在分析天线辐射特性时观察点距离应远大于天线总尺寸及三倍的工作波长。阵列天线的辐射特性取决于阵元因素和阵列因素。阵元因素包括阵元的激励电流幅度相位、电压驻波比、增益、方向图、极化方式，阵列因素主要包括阵元数目、阵元排列方式、阵元间距。尽管通过控制阵列因素可以改变辐射特性，但是阵元因素也是控制阵列总特性时需要重视的。垂直面下倾波束赋形设计工程上，实现天线的下倾有两种办法：机械下倾和电下倾。机械下倾是指物理地使天线辐射单元与Z轴有一定夹角固定于支架上，电下倾是通过阵列天线的方向图赋形实现阵列的方向图下倾，即通过改变共线阵天线振子的馈电相位和幅度，使天线的垂直方向图下倾。由于机械下倾是物理地向下倾斜天线，尽管采用这种技术也能使同频干扰降低，但是其调整倾角的精度较低，步进精度为1°，且施工和维护较为困难。在网络调整时，必须先将基站系统停机，不能在调整天线中同时监测调整效果，所以不可能对网络实行精细调整。然而对于电下倾，由于天线各方向的场强强度同时增大或减小，保证了在改变倾角后天线方向图变化不大，在使主瓣方向覆盖距离缩短的同时，又使得整个方向图在服务小区扇区内减小覆盖面积而降低了干扰。另外，电调天线允许系统在不停机的情况下对垂直方向性图下倾角进行调整，可实时监测调整的效果。调整倾角的步进精度较高，为0.1°，因而可实现网络的精细调整。方向增益天线在某方向的增益是它在该方向的辐射强度与天线以同一输入功率间均匀辐射的辐射强度之比,即极化极化是天线的一个重要特征参数,用以描述电场矢量终端运动轨迹随着时间变化的规律。一般来说,都以电场矢量的空间指向来作为天线辐射电磁波的极化方向。根据天线在其最大辐射方向上电场的极化形式来定义天线的极化,可分为线极化、圆极化和椭圆极化。当天线在最大辐射方向上电场矢量在空间取向固定不变时,该天线为线极化。当该电场矢量的取向变化,且端点轨迹为一个圆时,称其为圆极化。圆极化又有左旋圆极化和右旋圆极化之分。在以地面为参考面时,线极化又可分为垂直极化、水平极化和斜极化。两类波束赋形的原理介绍(1)基于信号入射方向的波束赋形(direction—of-arrival／DOA．basedbeamforming)：(2)基于特征值分解的波束赋形(Eigenbeamforming)。而入射方向(DOA)的估计技术在信号处理领域也非常成熟，一般常用的有MUSIC，ESPRIT以及最大似然估计(MLE)等。从DOA估计的结果，可以计算获得各个天线单元的权值向量(WeightVector)，通过将这一组权向量作用到天线单元上，就可以控制天线阵列的发送主瓣，从而可以增强期望的信号能量。设M为均匀直线阵列的阵元数目,阵元沿x轴均匀排列。考察一个入射到阵列上与阵列轴线所夹的入射角为的平面波。设第一个阵元为参考阵元,位于原点处。入射到阵元的信号与入射到参考阵元的信号分量间的相位差表示为：最小二乘准则设输入信号参考信号为,加权向量为W,则最小二乘(LeastSquare,LS)准则的估计误差可以表示为（1）LS准则在于选择加权矢量w,使如下的代价函数最小（2）为了降低距离当前时刻n较远的输入矢量和误差对代价函数的影响,在上式中引入了遗忘因子，且令（3）可以写成矢量表示的形式则相应的代价函数可以表示为（4）其中，由可以求得最佳权向量应该满足的方程为:（5）则：（6）其中，为相位传播因子，为载波波长。设由第个信号源辐射到天线阵列的波前信号为,假设S(t)为窄带信号,则可以表示为以下形式:式中是信号的复包络,是信号的角频率。假设D个信号具有相同的中心频率,所以有:式中。是阵元间距,是入射波波长。当信源信号入射到天线阵列时,相对于参考阵元,其它阵元所接收到的信号都会存在一个时间延迟,所以其中某一个阵元的接收信号可以表示为，其中为该阵元相对于参考阵元的时间延迟,假设信号源是窄带信号,有如下近似:故延迟后的波前信号为:所以,若以第一个阵元为参考点,则t时刻等间距直线阵中的第个阵元对应的阵元间距为，对第k个信号源的感应信号为:其中,为第m个阵元对第k个信号源的影响,前面己假设各阵元无方向性，所以可取。为第K个信号源的方位角,表示由第m个阵元与第1个阵元间的波程差所引起的信号相位差。考虑测量噪声和所有信号源来波,第m个阵元的输出信号为:其中是测量噪声,所有标号为m表示该量属于第m个阵元,所有标号为k表示该量属于第k个信号源。设为第m个阵元对第k个信号源的响应函数。则第m个阵元的输出信号为:其中是第k个信号源在阵元上的信号强度。运用矩阵的定义,可以得到更为简洁的表达式:式中对进行N点采样,我们要处理的问题就变成了通过输出信号的采样估计出信号源的波达方向角。根据信号在空间传播时延表现在各阵元接收信号中为相应的相移，即相位差这些接收机的输出可以表示为一个N维矢量，即（2）其中N为阵元数，x为第一个阵元接收到的复基带信号，为阵列导向矢量，即（3）最优最小方差无失真响应（MVDR）算法假设接收到N个复观察数据，即一次快拍数:（1）它包括有用信号、多个平面波干扰以及空间白噪声，因此有（2）其中有用信号的到达角已知和未知幅度、随机相位的非随机平面波信号。干扰和噪声建模为零均值高斯随机过程，因此可以用二阶统计量完整描述两者的统计特性，即协方差矩阵。对最优波束赋形，干扰和噪声假设是已知的，通常假设不相干的，他们的协方差矩阵描述如下:（3）其中，为干扰的协方差矩阵，为噪声的协方差矩阵，为干扰加噪声的协方差矩阵。波束形成器的输出矢量表示形式表示为，接收信号表示为（4）阵列的输出信号为设计波束形成的目标是如下：=1\*GB3①最小化输出干扰噪声的功率；=2\*GB3②保证有用信号的无失真。又（5）第二个目标是保证有用信号的无失真，即（6）其中s为具有单位模值的导向矢量，即（7）其中为阵列导向矢量，其中观察方向为，为矢量的2-范数，计算如下：（8）将上述问题组合如下：（9）或者（10）最优化问题可以利用lagrange乘数方法求解，最小化函数即lagrange函数为（11）求上式关于的梯度，可得（12）或者（13）代入约束条件得（14）即得（15）其中利用协方差矩阵的Hermitian特征，即最终得到（16）由于上面求解利用了所有N个自适应自由度，故有称为全维解。鲁棒性波束赋形算法通常是在一些线性约束下,最小化阵列输出。首先根据接收信号,估计期望信号的到达方向DOA,建立一个期望空间响应约束,在此约束下,最小化代价函数,从而获得波束赋形权值。能够精确地获得这些约束条件,在此条件下,通过最优化方法获得波束赋形权值。但是,实际系统总是存在各种各样的偏差,如本地散射体、到达角度的不确定性、传播介质的不一致、衰落、不准确的天线阵校验、阵列几何误差等等因素都会造成阵列导向矢量扰动。鲁棒性波束赋形算法是解决阵列导向矢量扰动的重要方法。零陷技术研究日益复杂的电磁环境使得电磁干扰变得越来越严重,减少电磁干扰的一种重要解决方案是采用智能天线波束赋形技术。智能天线波束赋形技术关注的一般是主瓣的形状和整体的旁瓣增益水平。然而在实际通信坏境中,某些方向电磁干扰可能特别强,对有用信号会造成很强干扰,因而对于这些强干扰方向的旁瓣就有更高的要求即旁瓣增益应该更低。正是为了解决这个问题,零陷技术应运而生。零陷技术是在保证主瓣无畸变或者畸变很小的前提下,在干扰方向形成零陷,它的目标是使波束主瓣对准有用信号,零陷对准干扰源,从而能够最小化由干扰引起的信噪比恶化。零陷技术在雷达、声纳和通信系统中起着非常重要的作用。常用的零陷技术包括:复权值扰动,阵列元素位置扰动,幅值扰动,相位扰动。自适应波束形成自适应波束形成概述目前自适应波束形成在基带上通常采用数字方式来实现,称为自适应数字波束形成(ADBF),它是空时滤波的主要形式,现在自适应波束形成和自适应数字波束形成通常被认为是同一技术。处理器的结构及处理的过程以及自适应算法这两方面是自适应波束形成技术的主要研究内容。自适应算法主要是研究自适应阵列权值的计算。一般的自适应数字波束形成的接收系统包括天线阵元、接收模块、A/D转换、波束控制和数字波束形成。整个系统是由天线阵和自适应信号处理器组成的一个网络。各天线阵对有用信号和干扰信号在阵列孔径上产生的场进行空间采样,空间滤波一般是在基带完成的,因此接收机要将信号下变频至基带信号,然后通过A/D转换成数字信号,进入自适应波束形成网络,经过自适应网络加权合并后,增强有用信号,将有用或期望信号位于天线阵列的主波束方向上,同时抑制干扰信号和噪声,在干扰方向上形成零陷,从而达到提高输出信干噪比(SINR)的目的。波束形成的基本原理波束形成从信号处理的角度讲是一种空间滤波的方法,从信号、干扰和噪声混杂在一起的输入信号中提取出我们所关心的信号.自适应波束形成示意图如图3.2所示。设发射阵元数为N,接收阵元数为M,阵元间距为d。每个天线阵接收期望信号、干扰信号和噪声信号(高斯白噪声)。期望信号从到达角为方向接收,干扰信号从到达角为方向接收。假设接收信号已经经过下变频和模数转换,则阵列系统的输出y(n)是对各阵元的接收信号向量x(n)在各阵元上分量的加权和,表示为:(1)其中表示天线阵加权向量;x(n)为阵列接收的总信号向量;H表示加权向量w复数的共轭转置。接收的期望信号向量定义为:(2)式中，是维的方向向量，即阵列的导向矢量，,由决定,表示为（3）式中，是矩阵转置，，d为阵元间距,为入射波波长。将式(2)的期望信号向量写成矩阵的形式为：(4)其中，是维向量,是期望信号的方向向量,定义为：(5)是维向量,是期望信号向量,定义为:(6)同样地,我们可以得到干扰信号向量（7）其中是维向量,是干扰信号的方向向量,定义为（8）是维向量,是干扰信号向量,定义为：于是,阵列接收的总信号向量表示为期望信号与干扰信号和噪声信号之和:（9）利用式(9)导出的结果重写式(1)得:（10）阵列的幅度波束图定义为：（11）为了将波束指向法线方向(),取（12）此时波束图为:（13）式中,阵元间距d==入/2。波束形成的基本设M为均匀直线阵列的阵元数目,阵元沿x轴均匀排列。考察一个入射到阵列上与阵列轴线所夹的入射角为的平面波。设第一个阵元为参考阵元,位于原点处。入射到阵元的信号与入射到参考阵元的信号分量间的相位差表示为：其中，为相位传播因子，为载波波长。设由第个信号源辐射到天线阵列的波前信号为,假设S(t)为窄带信号,则可以表示为以下形式:式中是信号的复包络,是信号的角频率。假设D个信号具有相同的中心频率,所以有:式中。是阵元间距,是入射波波长。当信源信号入射到天线阵列时,相对于参考阵元,其它阵元所接收到的信号都会存在一个时间延迟,所以其中某一个阵元的接收信号可以表示为，其中为该阵元相对于参考阵元的时间延迟,假设信号源是窄带信号,有如下近似:故延迟后的波前信号为:所以,若以第一个阵元为参考点,则t时刻等间距直线阵中的第个阵元对应的阵元间距为，第m个阵元与第1个阵元间的波程差所引起的信号相位差为，对第k个信号源的感应信号为:其中,为第m个阵元对第k个信号源的影响,假设各阵元无方向性，所以可取。为第K个信号源的方位角。考虑测量噪声和所有信号源来波,第m个阵元的输出信号为:所有标号为m表示该量属于第m个阵元,所有标号为k表示该量属于第k个信号源。设为第m个阵元对第k个信号源的响应函数。则第m个阵元的输出信号为:波束形成器的输出为一复标量，即其中，，,设则为阵列因子，它决定了阵列输出端的信号与参考阵元处测得的信号的比值。通过调整权向量W可以将天线阵列波束图的最大主瓣对准任意方向。为外加噪声。对进行N点采样,我们要处理的问题就变成了通过输出信号的采样估计出信号源的波达方向角。当阵元响应具有全方向特性时，波束方向图就等于阵列因子，即在实际中，每个阵元都不是全向的，而是有一定的方向性，如偶极子阵元。故阵列方向图为阵列因子和阵元辐射方向图的乘积，即阵列天线的这种特性被称为方向图乘法。常用的算法性能准则波束赋形可以认为是一种特殊的自适应滤波问题,实现过程中所遇到的最佳化问题都是非线性的。通常是在一定的约束条件下使非线性问题中的代价函数达到最小或者最大来获得最优解。因此,代价函数的最小值或者最大值以及约束条件就被称为最佳准则,不同代价函数就对应不同的准则。本节主要介绍最小均方误差准则、最大信干噪比准则、最小二乘准则、最大似然准则最小均方误差准则（MMSE）最小均方误差(MinimumMeanSquareError,MMSE)准则是B.Widrow等人首先提出的,它基于大多数情况下人们对有用信号具备某些先验知识的事实,提出在接收系统中设置本地参考信号,然后调整阵列加权,使阵列输出与参考信号的均方误差值最小.设输入信号为，参考信号为,加权向量为W,则阵列的输出可以表示为:（1）设估计误差可以表示为:（2）则MMSE准则的代价函数可以表示为:（3）其中,表示统计平均。最佳处理问题归结为如下的无约束最佳化问题:（4）由上式可得：（5）令输入矢量信号与参考信号之间的互相关可以表示为：（6）关于为一个标量，因此：（7）令输入矢量信号)的自相关函数可以表示为（8）将式(6)~(8)带入式(5)得:（9）则取最小值时的最佳权向量可以通过对w求偏导数得到。令（10）若是可逆矩阵,最佳权向量可以表示为：（11）最大信干噪比准则（MSINR）

最大信干噪比(MaxSignaltoInterferenceplusNoiseRatio,MSINR)准则用来选择使SINR最大的权向量,阵列接收信号可以表示为： （1）

其中，分别表示输入信号和噪声与干扰。相应的输出信号可以表示为:（2）其中，则输出SINR可以表示为:（3）其中要得到满足MSINR的权向量,需要将式(3)对进行求偏导,令（4）根据求偏导数的商法则可得：-（5）从而可得：，则：的数值介于的最小特征值和最大特征值之间。其中,的最大特征值满足下式:。因此只需求出的最大值,即可得到SINR的最大值,则对应的特征向量即为基于MSINR准则的最佳权向量。当系统中不存在干扰时,该准则就简化为最大信噪比(MSNR)准则。此准则的优点是可以使信噪比最大化,缺点是必须得到噪声的统计量,且需要对信号的到达方向进行估计。最大似然准则(ML)最大似然ML(MaximumLikelihOOd)准则是以期望信号s未知,非期望信号n服从均值为零的高斯分布的设想。该准则旨在定义一个能估计出期望信号的似然函数。假定总的分布服从高斯分布,但均值受期望信号s的控制。概率密度函数由联合概率密度描述,表示为在给定s(n)的条件下x(n)出现的条件概率,该密度可视为似然函数,用来估计参数s。表达式为:（1）式中,表示非期望信号的标准方差;表示非期望信号的自相关矩阵设接收信号为x(k),则最大似然(MaxLikelihood,ML)准则的模型表示为:（2）其中，表示噪声。表示一个固定的方向向量。S为一个标量,表示输入信号。设接收信号的对数似然函数为:（3）其中,是在给定s条件下出现的条件概率。表示自然对数。设噪声为零均值的平稳高斯随机过程,其自相关矩阵用表示。则似然函数可以写成:（4）其中,是一个与和S无关的常数。现在要计算使似然函数最大的S,记作称为S的最大似然估计。即:（5）为此,将似然函数对求偏导数,得到:（6）则（7）由(7)可得最佳权向量为:（8）其中，为标量。线性约束最小方差准则(LCMV)最小方差Mv(Minimumvariance)准则要求保证在有用信号增益固定的情况下,使得输出总功率达到最小,也就是噪声和干扰信号的功率最小。为确保无失真,通常加入约束条件,因此MV准则也常称为线性约束最小方差(LCMV)准则。假定采用均匀直线阵,非期望信号的均值为零,其方程式如下:（1）若是均匀直线阵,输入有用信号向量可表示为:（2）式中,为方向向量,是一个固定向量。结合式(1),阵列的输出信号为（3）于是天线阵输出干扰加噪声功率:（4）应用拉格朗日法,代价函数J(w)是方差和约束条件的线性组合,得（5）将上式对w求导并令其为零,得到（6）将式（6）代入（1）得到（7）得到最小方差的最优权向量（8）对照式(3.35)和式(3.42),最小方差准则和最大似然准则在形式上是一样的。唯一的区别在于,最大似然准则要求所有合并后的非期望信号服从均值为零的高斯分布。而在最小方差准则中,非期望信号包括干扰源及噪声。常用的波束赋形算法最小均方(LMS)算法图使用参考信号的波束赋性系统结构QUOTE表示时刻n的参考信号，QUOTE表示时刻n的输入信号。波束形成器的输出信号QUOTE．MMSE准则就是使误差信号QUOTE的均方值最小，代价函数取为：QUOTE(1)式中．阵列输入向量x(n)=QUOTE，阵元加权向量QUOTE。采用梯度法求得均方误差函数，有：,当梯度为零时有最小值，解得：QUOTE(2)式中：QUOTE一般，我们是不知道信号的统计数据的。解决的方法是使用其瞬时值来估计QUOTE和QUOTE．即：采样最陡下降法的选代技术可近似求出代价函数的梯度。最陡下降迭代近似由下式给出：QUOTE(3)代价函数的梯度由式(3)给出，(1)带入(3)时．得到LMS的解：QUOTE(4)式中，QUOTE是步长,是一个值很小的正实数．一般介于0和1之间；QUOTE是代价函数的梯度。LMS算法权向量的初始值是n=0时刻的w(0)值。通过不断调整权向量的值，最终使得均方误差值最小。LMS算法的收敛性与步长QUOTE成正比。如果步长太小，则收敛速度缓慢。如果步长太大，会因为收敛速度太快而造成系统不稳定。因此，必须选择一个步长范围来确保收敛。研究表明,如果满足下列条件就可以确保算法稳定：式中，是QUOTE的最大特征值。采样矩阵求逆(SMI)算法LMS自适应算法的一个缺点是,在达到令人满意的收敛前,算法必须经过多次迭代。采样矩阵求逆SMI(SampleMaXtrixInversion)算法可以解决LMS算法相对缓慢收敛性的问题,也称直接矩阵求逆(DMI)算法,对天线阵的自相关矩阵直接求逆。采样矩阵是对利用K次采样的天线阵相关矩阵的时间平均估计。如果随机过程在相关性上遍历,则时间估计将等于实际相关矩阵。关于MMSE最小值的讨论,最优天线阵权值由维纳解得到。通过时间平均可估计相关矩阵,得(5)式中,K是观察周期。可以表示成:(6)其中，由于使用长度为K的数据块,因此这种方法也称块自适应法(block-adaptiveapproach)。长度为K的第n个块的SMI的最优权向量为:(7)可见,SMI是样本数据块的更新方法。虽然,在理论上SM工算法比LMS算法收敛速度快很多,但是SMI算法需要对矩阵进行求逆运算,随着矩阵阶数的增加,求逆带来的计算量也将增大,硬件实现复杂,这使它在实际应用中受到限制.。递归最小二乘(RLS)算法尽管SMI算法的速度比LMS算法的速度快,但是计算复杂度和潜在的奇异性会带来一些问题。因此,我们可以采用递归的方式计算出所需的自相关矩阵和互相关向量,称此算法为递归最小二乘(RLS)算法。自相关矩阵和互相关向量的估计,采用总和除以块长的形式。当计算权值时,乘积抵消了用K除。因此,可以省略K而将自相关矩阵和互相关向量重写为:(8)和是终止于采样时刻n的相关估计。由于信源随时间缓慢移动,所以可以不关注最早的数据采样,而只关注最近的数据采样。修改上式,去掉最早的时间采样,有(9)其中为加权因子,也称遗忘因子。当a=1时,就是常见的最小二乘算法;a=1还表明记忆无限。将上式的求和分成两项,前项的值和最后一项的得到两式的递归形式:(10)(11)因此,使用前面的值可求得后面的天线阵的自相关矩阵估计和互相关向量估计。对使用矩阵求逆,得:(12)式中，增益向量化简可得到:(13)按照迭代次数n重新整理最优维纳解并将式(11)代入得(14)将式(12)、式(13)代入式(14)得到权向量更新公式(15)比较式(15)和式(4),两者在形式上相同。RLS算法采用递推的方法来完成矩阵求逆运算,因而收敛速度快,对特征值的散布度不那么敏感。最优最小方差无失真响应（MVDR）算法若是均匀直线阵,输入有用信号向量可表示为:（1）式中,为方向向量,是一个固定向量。阵列的输出信号为（2）其中，为干扰加噪声信号。于是天线阵输出干扰加噪声功率:（3）为干扰加噪声的协方差矩阵。设计波束形成的目标是如下：=1\*GB3①最小化输出干扰噪声的功率；=2\*GB3②保证有用信号的无失真。即（4）或者（5）应用拉格朗日法,代价函数J(w)是方差和约束条件的线性组合,得（5）将上式对w求导并令其为零,得到（6）将式（6）代入（1）得到（7）得到最小方差的最优权向量（8）假设协方差矩阵是已知的，MVDR算法称为最优波束形成器，当协方差矩阵不知道时，必须利用训练序列进行估计，而利用估计统计特性的波束形成称之为自适应波束形成。估计协方差矩阵的标准方法是构造样本协方差矩阵。其中：（17）其中：为第k个训练样本，而K为可利用的训练序列总数。样本协方差矩阵是真实协方差矩阵的最大似然估计。恒模(CMA)算法所谓恒模是指许多常见的通信信号都具有恒定包络的特性,利用信号所具有的这一特征,它的基本思想是恒模信号(如FM、PSK、FSK等)在经历了多径衰落、加性干扰或其它不利因素时,会产生幅度扰动破坏信号的恒模特性,因此可以定义一种“恒模准则”使自适应滤波器的输出恢复成恒模信号。恒模算法CMA(ConstantModulusAlgorithm)属于盲算法,不需要参考信号,它是基于梯度算法。CMA自适应阵列是用来捕获具有恒模特性的期望信号,通过CMA算法可以消除因存在干扰信号而引起输出信号幅度的变化,控制权值使其幅度变化最小,当输出幅度变为恒定时,天线方向图就会在干扰信号的来波方向上形成零陷。恒模信号在经历了多径衰落、加性干扰或其它不利因素时,会产生幅度扰动,从而破坏信号的恒模特性。恒模波束形成器的基本思想就是通过某种算法修正阵列输出的加权向量值w，从而使经过加权求和后的阵列信号恢复信号的这种恒模特性。定义其代价函数和误差信号函数为（1）（2）其中,p、q都是正整数,p等于1或2;q通常取2;为阵列输出期望信号的幅度,定义为:（3）其中,s(n)是的零记忆估计,通常将输出估计值s(n)调整到1,则。由于恒模算法的代价函数是非线性的,无法直接求解,只能采用迭代的方法逐步逼近最优解。上面的代价函数类似于传统的均方误差代价函数,所以类似于传统的LMS算法,我们可以利用最陡下降法来优化该代价函数,根据最陡下降法可以得到迭代更新方程为:（4）中,是步长因子,表示关于w的梯度算子,并用瞬时梯度代替平均梯度可得恒模算法的更新方程为:（5）不同的恒模算法在迭代公式上的主要区别为z(n)取值不同。恒模波束形成器的输出信号可以表示为：（6）恒模算法就是通过调整该加权向量值,来恢复信号的恒模特性,从而实现盲自适应波束形成。既然我们要恢复的信号具有恒模特性,不失一般性的令该信号的模为1,于是可以得到恒模算法的代价函数为：（7）当时，（8）（9）恒模算法的代价函数类似于传统的均方误差代价函数,所以类似于传统的LMS算法可以采用随机梯度下降法,用负梯度方向上的小步长来不断的更新权向量w的迭代值。其迭代式子如下（10）其中,是小步长因子,运用公式可以得到下面所给出的梯度:（11）上式用瞬时值取代期望值,有:（12）将式(11)代入式(10)可以得到恒模算法CMA(2,2)的迭代更新方程为同理，当时，（13）（14）（15）p=1的情况比的情况收敛快。比较LMS算法的递推公式：（16）可以发现,两者算法的递推更新公式是一样的,唯一不同的是期望信号。在LMS算法中,期望信号需要通过训练序列获得,而在CMA中,期望信号可以取,可以根据输出信号直接计算。因此,CMA算法就是考虑信号恒模特性的LMS算法。MUSIC算法波达方向估计问题中的阵列信号数学模型为了分析推导的方便,现将波达方向估计问题中的数学模型作理想状态的假设如下:(1)各待测信号源具有相同的极化、且互不相关。一般考虑信号源为窄带的,且各信号源具有相同的中心频率。待测信号源的个数为D。(2)天线阵列是由M(M>D)个阵元组成的等间距直线阵,各阵元特性相同,各向同性,阵元间隔为d,并且阵元间隔不大于最高频率信号半波长。(3)天线阵列处于各信号源的远场中,即天线阵列接收从各信号源传来的信号为平面波。(4)各阵元上有互不相关,与各待测信号也不相关,方差为的零均值高斯白噪声。(5)各接收支路具有完全相同的特性。设由第个信号源辐射到天线阵列的波前信号为,前面已假S*(t)为窄带信号,则可以表示为以下形式:式中是信号的复包络,是信号的角频率。前面已经假设D个信号具有相同的中心频率,所以有:式中。d是电磁波波束,是公用的信号波长。当信源信号入射到天线阵列时,相对于参考阵元,其它阵元所接收到的信号都会存在一个时间延迟,所以其中某一个阵元的接收信号可以表示为，其中为该阵元相对于参考阵元的时间延迟,则根据窄带假设,有如下近似:故延迟后的波前信号为:所以,若以第一个阵元为参考点,则t时刻等间距直线阵中的第个阵元对第k个信号源的感应信号为:其中,为第m个阵元对第k个信号源的影响,前面己假设各阵元无方向性，所以可取。为第K个信号源的方位角,表示由第m个阵元与第1个阵元间的波程差所引起的信号相位差。考虑测量噪声和所有信号源来波,第m个阵元的输出信号为:其中是测量噪声,所有标号为m表示该量属于第m个阵元,所有标号为k表示该量属于第k个信号源。设为第m个阵元对第k个信号源的响应函数。则第m个阵元的输出信号为:其中是第k个信号源在阵元上的信号强度。运用矩阵的定义,可以得到更为简洁的表达式:式中对进行N点采样,我们要处理的问题就变成了通过输出信号的采样估计出信号源的波达方向角。由此,可以很自然的将阵列信号看作是噪声干扰的若干空间谐波的叠加,从而将波达方向估计问题与谱估计联系起来。对阵列输出x作相关处理,得到其协方差矩阵:其中,H表示矩阵共扼转置。前面已假设信号与噪声互不相关、且噪声为零均值白噪声,因此将式(3-9)代入式(3-15),可以得到式中称为信号的相关矩阵。是噪声的相关矩阵,。是噪声功率,是阶的单位矩阵。当所有信号互不相关时,有其中,为第i个信号源的功率。此时信号相关矩阵为为一对角阵,其秩为对于信号部分相关的情况,不是一个对角阵,但其秩仍为对角元素仍为信号功率,第i行第j列的元素表示第i个信源与第j个信源之间的相关程度。对于信号部分相干的情况,不是一个对角阵,且其秩：实际应用中,通常无法直接得到,能使用的只有样本的协方差矩阵:可以证明,是的最大似然估计,当采样数时。时,它们是一致的,但实际情况中将由于样本数有限而造成误差。阵列协方差矩阵的特征分解根据矩阵特征分解的理论,可以对阵列协方差矩阵进行特征分解。首先考虑理想情况,即无噪声的情况:对于均匀线阵,矩阵A是由式(3一12)所定义的范德蒙德(Vandemonde)矩阵,只要满足:则,它的各列相互独立,这样,若为非奇异矩阵（，各信号源两两不相关),且M>D,则有:由于，所以有：即是Hemrite矩阵,它的特征值都是实数。又由于Rs是正定的,矩阵是半正定的,它有D个正特征值和个零特征值。再考虑有噪声存在的情况由于为满秩阵,所以有M个