菱形的性质与判定 单元测试卷

北师大新版九年级数学上册《第1章菱形的性质与判定》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行2．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A． B． C．5cm D．3．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．134．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB5．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）6．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形7．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（）A． B．5 C． D．不确定如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°10．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5 B．2 C． D．二．填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）11．边长为3cm的菱形的周长是．12．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是．13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足时，四边形EHFG是菱形．14．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝度．15．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．16．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是DB、DC的中点，若AB＝10，则EF＝．17．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝．三．解答题（共6小题）19．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．求证：△ACE≌△ACF．20．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB＝∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．22．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，延长AB到G，使BG＝AB，连接GO并延长，交BC于E，交AD于F，且AC＝2AB，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△CDB≌△BAG．（2）如果四边形BFDE是菱形，那么四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

北师大新版九年级数学上册《第1章菱形的性质与判定》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行【分析】根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．【解答】解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；故选：A．【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考基础题．2．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A． B． C．5cm D．【分析】先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∵菱形ABCD的面积＝AB•DE＝AC•BD＝×8×6＝24，∴DE＝＝；故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．4．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB【分析】根据菱形的定义得出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：B．【点评】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．5．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）【分析】首先连接AB交OC于点D，由四边形OACB是菱形，可得AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，易得点B的坐标是（3，﹣1）．【解答】解：连接AB交OC于点D，∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，∴点B的坐标是（3，﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直．解此题注意数形结合思想的应用．6．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．7．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（）A． B．5 C． D．不确定【分析】根据菱形的性质可得AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，然后利用勾股定理计算出AB长，再根据菱形的面积公式得到S菱形ABCD＝×8×6＝24，进而得到△AOB的长，然后根据直角三角形的面积计算出EO长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，S菱形ABCD＝×8×6＝24，∴AB＝＝5，S△AOB＝6，∵•AB•EO＝×AO×BO，∴5EO＝4×3，EO＝，故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．8．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD＝60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝AD＝24÷4＝6（米），∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝6（米），OD＝OB＝3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA＝＝3（米），则AC＝2OA＝6米，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°【分析】首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB＝BC即可．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB平行且等于CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形．故选：A．【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB平行且等于CD是解题关键．10．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5 B．2 C． D．【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．二．填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）11．边长为3cm的菱形的周长是12cm．【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．【解答】解：∵菱形的各边长相等，∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4＝12（cm）．故答案为：12cm．【点评】此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．12．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是130°．【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝25°，∵EF垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为：130°．【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．【分析】由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，则可证四边形EHFG是菱形．【解答】解：当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE＝CF＝AE＝DF∵BE＝DF，AB∥CD∴四边形BEDF是平行四边形∴ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四边形EHFG是平行四边形．在△EBC与△FCB中，∵，∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴EH＝FH，∴平行四边形EHFG是菱形，故答案为：AB⊥BC．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，利用这些性质和判定进行正确推理是本题的关键．14．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝25度．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．15．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为24．【分析】因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为24．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24故答案为24【点评】此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．16．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是DB、DC的中点，若AB＝10，则EF＝5．【分析】根据菱形的性质可知：BC＝AB＝10，又E、F分别是DB、DC的中点，根据三角形的中位线定理可得：EF＝BC，继而得出答案．【解答】解：由菱形的性质可知：BC＝AB＝10，又∵E、F分别是DB、DC的中点，∴EF＝BC＝5（三角形的中位线定理）．故答案为：5．【点评】本题考查菱形的性质：菱形的四边相等；同时考查了三角形中位线定理：三角形中位线等于第三边的一半．此题比较简单．17．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10cm．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PA的最小值，即可判断．【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10，∴∠A＝∠C＝60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA＝10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PA的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣10．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•5＝•6•8，∴DH＝．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．三．解答题（共6小题）19．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．求证：△ACE≌△ACF．【分析】根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即∠FAC＝∠EAC，再根据边角边即可证明△ACE≌△ACF．【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠FAC＝∠EAC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS）．【点评】本题考查了菱形对角线的性质即一条对角线平分一组对角，以及全等三角形的判定方法，难度适中．20．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．【分析】根据菱形的性质得到CB＝CD，∠ABC＝∠ADC，证明△EBC≌△FDC，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠EBC＝∠FDC，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC，∴EC＝FC．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握全等三角形的判断力和性质定理是解题的关键．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB＝∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【分析】（1）由△ABC≌△ABD，推出∠ABC＝∠ABD，由CE∥BD，推出∠CEB＝∠DBE，由此即可解决问题；（2）只要证明四边形BCED是平行四边形，BC＝BD即可解决问题；【解答】证明（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE．（2）∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC＝BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，延长AB到G，使BG＝AB，连接GO并延长，交BC于E，交AD于F，且AC＝2AB，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】连接CG，推出∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，证△ACG是等边三角形，得到AG＝CG，推出EF⊥AC，证△AOF≌△COE，推出CE＝AF，根据菱形的判定得到四边形AECF是菱形即可．【解答】证明：连接CG，∵在矩形ABCD中AC＝2AB，∴∠CAG＝60°，∵BG＝AB，∴AG＝AC，∴△ACG是等边三角形，∵O为AC的中点，∴GF⊥AC，∵在矩形ABCD中，BC‖AD，∴∠DAC＝∠BCA，AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，∴△AOF≌△COE，∴CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形