三　空间向量的数量积运算

9三空间向量的数量积运算1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则两直线的夹角为 (A.30° B.60°C.120° D.150°【解析】选B.设向量a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为 ()A.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】选B.由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,则向量在向量上的投影向量是 ()A.1010 B.105C.55 D.25【解析】选D.设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因为==+=a+b,=+=+12=c+12a,所以·=(a+b)·c+12a=a·c+b·c+12a2+12a·b=12a2=12,||=12+(12)

2=5所以向量在向量上的投影向量是||cos<,>=25.5.(多选题)下列各命题中,正确的有 ()A.a·a=|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a【解析】选ABC.因为a·a=|a|2,故a·a=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是 ()A.与 B.与C.与 D.与【解析】选BCD.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则·=0;同理可得·=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.7.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为__________.

【解析】由题意,得⊥,⊥,即·=·=0.因为=++,所以·=(++)·==1.因为cos<,>==12,所以<,>=60°,所以直线a,b所成的角为60°.答案:60°8.已知空间向量a,b,c中每两个向量的夹角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=________【解析】因为|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π3所以|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,所以|a+b+c|=10.答案:109.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=b·12(c-a)+b=|b(2)·=c-a+12b·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)·=12(c-a)+12=12(-a+b+c)·12b+a=-12|a|2+14|b|210.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量;(2)求BM的长.【解析】(1)因为M是PC的中点,所以=12(+).因为=,=-,所以=12[+(-)],结合=a,=b,=c,得=12[b+(c-a)]=-12a+12b+1(2)因为AB=AD=1,PA=2,所以|a|=|b|=1,|c|=2.因为AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos60°=1.由(1)知=-12a+12b+12所以=-1=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=14×(1+1+4-0-2+2)=3所以||=62,即BM的长等于6211.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是 ()A.|++|2=3||2B.·(-)=0C.与的夹角为60°D.此正方体体积为|··|【解析】选AB.A项,由题意知|++|=||=3||,所以|++|2=3||2,正确;B项,由题意知·(-)=(++)·(-)=+·+·-·-·-=0,正确;C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,错误;D项,因为·=0,所以|··|=0,与实际不符,错误.13.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.

【解析】设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则=-,=+12,cos<,>==0-2+2-022×5答案:90°14.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1之间的距离为__________.

【解析】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=++,所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,所以||=2.所以点B与点D1两点间的距离为2.答案:215.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,M为VC的中点.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.【解析】(1)设=a,=b,=c,正四面体V-ABC的棱长为1,则=13(a+b+c),可得=16(b+c-5a),=16(a+c-5b),=16(a+b-5c),所以·=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136(18a·b-9|a|2)=136所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)=+=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b+c),所以||=16(-2a又因为||=16(b+·=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=14所以cos<,>=1412×2所以<,>=45°.16.已知MN是正方体的内切球的一条直径,点P在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则·的取值范围为 ()A.0,4 BC.1,4 D【解析】选B.设正方体的内切球的球心为O,则O