专题提升练四

4专题提升练四1.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是 ()A.2 B.1+2C.1+22 D.2+2【解析】选B.由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,表示以M(1,1)为圆心,以r=1为半径的圆.先计算点M到直线x-y=2的距离d=|1−1−2|12+圆上的点到直线的距离的最大值为点M到直线x-y=2的距离再加半径,即dmax=d+r=1+2.2.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为 ()A.6 B.4 C.3 D.2【解析】选B.如图,圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6.又因为圆的半径为2,所以|PQ|的最小值为6-2=4.3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-433)∪(D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】选C.方法一:过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2令d=|2a化简后,得3a2=16,解得a=±433.所以C方法二:如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可得∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可得BD=433,再由图直观判断,所以C4.若直线mx+2ny-4=0始终平分圆(x-2)2+(y-1)2=9的周长,则m+n的值是 ()A.12 B.-12 C.-2 D【解析】选D.由题意可知直线mx+2ny-4=0过圆心(2,1),有2m+2n-4=0,得m+n=2.5.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ()A.5 B.5 C.25 D.10【解析】选B.由题意,得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,则b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.6.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为 ()A.0或4 B.0或3C.-2或6 D.-1或3【解析】选A.由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离d=22−(2又d=|a−2|2,所以解得a=4或a=0.7.已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2+y2-2x=0上的动点,则△ABC面积的最小值为________.

【解析】△ABC的面积最小时,点C到直线AB的距离最短,该最短距离其实就是圆心到直线AB的距离减去圆的半径.直线AB的方程为x-y+2=0,|AB|=22,x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,易知该圆的圆心为(1,0),半径为1,圆心(1,0)到直线AB的距离d=32=3故△ABC面积的最小值为12×22×(322答案:3-28.已知动点P,M,N分别在x轴、圆O1:(x-1)2+(y-2)2=1和圆O2:(x-3)2+(y-4)2=3上,则|PM|+|PN|的最小值为________.

【解析】两圆的圆心均在第一象限,其中O1(1,2),半径r1=1,O2(3,4),半径r2=3.因为(|PM|+|PN|)min=|PO1|+|PO2|-r1-r2,所以可先求出|PO1|+|PO2|的最小值,如图,作O1关于x轴的对称点O'1(1,-2),连接O2O'1,与x轴交于点P,此时|PO1|+|PO2|取得最小值,且|PO1|+|PO2|=|O'1O2|=(1−3)2+(−2−4所以(|PM|+|PN|)min=210-1-3.答案:210-1-3【补偿训练】已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是________.

【解析】由题意知,直线y=2x+b过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程,得b=4,圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以a<5,由此,得a-b<1.答案:(-∞,1)9.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程.(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程.(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.【解析】(1)由题意,得t=-2,由于△ABC为锐角三角形,其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则4−2E+所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0.(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.又因为|OA|=|OC|=2<4(O为坐标原点),所以点A,C都在圆内.所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.(3)由题意知曲