2022年全国高三数学奥林匹克竞赛（预赛）加试B卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022年全国高三数学奥林匹克竞赛（预赛）加试B卷一、解答题（本大题共4小题，共180.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.(本小题40.0分)如图，设A，B，C，D四点在圆ω上顺次排列，其中AC经过ω的圆心O.线段BD上一点P满足∠APC=∠BPC，线段AP上两点X，Y满足A，O，X，B四点共圆，

2.(本小题40.0分)

给定正实数a，b，a<b.设x1，x2，⋯，x3.(本小题50.0分)

设正整数a，b都恰有m(m≥3)个正约数，其中a1，a2a3，⋯，am是a的所有正约数的一个排列问a1，a1+4.(本小题50.0分)

圆周上依次有100个点P1，P2，⋯，P100(其中P100与P1相邻).现有5种颜色，要求P1，P2，⋯，P100中每个点染5种颜色之一，每种颜色至少染一个点.若对任意这样的染色方式，P1，P2，⋯答案和解析1.【答案】解：证明：根据条件，可知∠O∠O所以△OXY设OM⊥AP于点M，CK⊥AP于点K(由O为AC的中点，得CK=2O考虑到OM，CL是相似三角形△OXY，△XY即有BD

【解析】略2.【答案】解：首先证明：当x，y∈|x−不妨设a≤x≤|x故 ①于是|≤=2故|x当x1=x因此，所求的最大值为2(

【解析】略3.【答案】解：答案是否定的．用反证法.假设题述情形发生，记A={显然ai+ai+1≥3(所以a1+a2为奇数，得a2易知A中最大的两个元素为a，a2．

显然B中每个元素都不超过a+设ai=a，aj=a2，其中i，j≥2(因为a有m(m≥3)个正约数，而a1=1)因此题述情形不可能发生．

【解析】略4.【答案】解：解法1:首先，让P25，P50，P75，P100分别染颜色1，2，3，4，其余点染颜色5.此时P1，P2，⋯，P100以下假设有一种染色方式，使得任意26个连续的点含有至多两种颜色.对该染色方式，在P1，P2，⋯，P100中选取尽可能多的连续的点，使这些点中不含全部5种颜色，从而恰好含有4种颜色(否则可再添入这些连续的点的一个相邻点，仍不含全部5种颜色).不妨设选出的点是Pk+1，Pk+2，⋯，P100对i=1，2，3，4，5，用xi表示染有颜色i由对称性，可不妨设x2<x3<对每个i=2，3，4，5，我们证明事实上，假如xi−xi−1≤24，考虑26个连续的点Pxi−1，Pxi−1+1⋯，Pxi−1+25′(下标模100理解，下同)，其中Px1−1染有颜色i从而有x5=x以上表明，对任意符合要求的染色方式，P1，P2，⋯，P100中总存在26综上，所求t的最小值为26．解法2:首先，让P25，P50，P75，P100分别染颜色1，2，3，4，其余点染颜色5.此时P1，P2⋯，P以下证明t=考虑任何一种染色方式，对i=1，2，3，4，5，用ni表示P1，P2，⋯，P100中染颜色i的点的个数，其中n1+n2+⋯+n5=100．

事实上，假如xi−xi−1≤24，考虑26个连续的点Pxi−1，Pxi−1+1⋯，Pxi−从而有x5=x以上表明，对任意符合要求的染色方式，P1，P2，⋯，P100中总存在26综上，所求t的最小值为26．解法2:首先，让P25，P50，P75，P100分别染颜色1，2，3，4，其余点染颜色5.此时P1，P2⋯，P以下证明t=考虑任何一种染色方式，对i=1，2，3，4，5，用ni表示P1，P2，⋯，P100中染颜色i的点的个数，其中n1+n2+若任意26个连续的点都含有颜色1，则s1若存在26个连续的点不含颜色1，不妨设染为颜色1的所有n1个点分别为P1，Pi，⋯，Pin1(27≤i1<i2<⋯<i1≤100这表明s1同理，对于i=2，3，4，5，含有