第二章 2.3.3　点到直线的距离公式

6第二章2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式【素养导引】1.探索并掌握点到直线的距离公式.(数学抽象)2.掌握点到直线的距离公式,并能灵活应用.(逻辑推理、数学运算)点到直线的距离公式条件点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|A【批注】1.直线的方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.2.当点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)利用直线的斜截式方程可以直接求点到直线的距离. ()(2)当A=0或B=0时,点P到直线Ax+By+C=0的距离公式仍然适用. ()(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b. ()提示:(1)×.不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.(2)√.(3)×.点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离应为d=|y0-b|,因为y0与b的大小不确定.2.(教材改编题)原点到直线x+2y-5=0的距离为 ()A.1 B.3 C.2 D.5【解析】选D.d=|0+2×0−5|12+3.(教材改编题)点P(1,2)到直线y=2x+1的距离为__________.

【解析】直线y=2x+1化一般式为2x-y+1=0,由点到直线的距离公式,得d=|2×1−2+1|22+(−1答案:5学习任务一求点到直线的距离(数学运算)1.已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),则点M到直线NF的距离为 ()A.5 B.23C.22 D.33【解析】选B.易知直线NF的斜率k=-3,故直线NF的方程为y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以点M到直线NF的距离为|33+232.点P(5,-1)到直线x3+y4=1的距离为__________,到直线x=2【解析】把直线x3+y4=1化为一般式,得4x+3y-12=0,所以点P(5,-1)到直线x3+y4=1的距离为|4×5+3×(−1)−12|32+答案:13求点到直线距离的关注点(1)解题步骤:先把直线化成一般式方程,再套用点到直线的距离公式.(2)特殊情况:①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=|y0-b|;④点P(x0,y0)到直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.学习任务二利用距离公式求参数(数学运算)【典例1】已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是__________.

【解析】点P到直线4x-3y-1=0的距离为|4×4−3×a−1|5=|15−3a|5.又|15−3a|5所以a的取值范围是[0,10].答案:[0,10]本例若把“距离不大于3”改为“距离等于6”,求a的值.【解析】点P到直线4x-3y-1=0的距离为|4×4−3×a−1|5=|15−3a|5.又|15−3a|5=6,所以求参数的值或取值范围的方法利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程(组)或不等式,通过解方程(组)或不等式求解.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于 ()A.79 B.-C.-79或-13 D.-7【解析】选C.由点到直线的距离公式可得|−3a−4+1|a2+1=|6|6a+4|,解得实数a=-79或-1学习任务三利用距离公式解决几何问题(逻辑推理)【典例2】如图,在△ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)设点C的坐标为(x,y).根据AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,可得x+52所以点C的坐标是(-5,-4).(2)因为A(5,-2),B(7,4),所以|AB|=(7−5)2+[4−(−2)kAB=4−(−2)7−5所以直线AB的方程为y+2=3(x-5),即3x-y-17=0,所以点C到直线AB的距离d=|−15+4−17|32+(−1)2=2810,所以△ABC的面积为12|AB|·d=距离公式在几何中的应用利用两点间的距离公式可以求几何图形的边长大小,利用点到直线的距离公式可以求几何图形的高的大小.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),则△ABC的面积为__________.

【解析】由两点式得AB的直线方程为y−14−1=x−23−2,即3x再由点到直线的距离公式得点C到直线AB的距离为d=|−6+1−5|32+(−1又|AB|=(3−2)2+(4−1所以S△ABC=12×10×10=5答案:5【补偿训练】在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-1,3),B(3,-4),边AC上的高线所在的直线方程为2x+3y+6=0,边BC上的中线所在的直线方程为2x+3y-7=0.(1)求点B到直线AC的距离.(2)求△ABC的面积.【解析】(1)由题意,kAC=32,直线AC的方程为y-3=32(x+1),即3x-2y+9=0.点