直线与圆的位置关系（2）教学设计高二上学期数学人教A版选择性

直线与圆的位置关系（2）教学设计内容和内容解析内容直线与圆的位置关系的实际应用、用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”、直线与圆相交弦长问题的应用.内容解析由上节所学，利用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系有两种思路：一是根据直线与圆的方程组成的方程组实数解的情况进行判断；二是利用直线与圆的方程求得圆心到直线的距离，依据圆心到直线的距离和半径的大小关系进行判断.本节书中例3与例4是直线与圆的方程在实际生活中的应用，这两个问题的解决首先需要学生自己建立适当的坐标系，然后在平面直角坐标系中将问题涉及的几何元素：点、直线、圆用坐标或方程表示，利用这些坐标或方程将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”为几何结论.这体现了用坐标法研究问题的基本思想与完整过程，也就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.学生通过两道实际问题的分析与解答，反复体验并巩固用坐标法解决实际问题的思想与完整过程.在解决直线与圆相交形成的弦长问题时，可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质.在不同的解法中，渗透适当利用图形的几何性质，有助于简化计算，使学生体会图形的几何性质在解析几何问题解决中的作用，强调数形结合的思想.基于以上分析，本节课的教学重点是坐标法的思想与完整过程、利用几何性质解决弦长问题.目标和目标解析目标（1）在掌握直线与圆的位置关系的基础上，了解直线与圆的方程在实际生活中的应用．（2）经历实际问题的解决过程中，学会建立适当的坐标系，掌握用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.发展几何直观、逻辑推理等数学素养．（3）经历解决和圆有关的弦长问题，学会利用圆的几何性质，解决和圆有关的弦长问题.掌握适当利用图形的几何性质，有助于简化计算，体会数形结合的思想.发展几何直观、逻辑推理等数学素养．目标解析达成（1）的标志是能够通过几何法或代数法判断直线与圆的位置关系，得出在实际应用中的正确结论.达成（2）的标志是自己建立适当的坐标系，然后在平面直角坐标系中将问题涉及的几何元素：点、直线、圆用坐标或方程表示，利用这些坐标或方程将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”为几何结论.达成（3）的标志是在解决和圆有关的弦长问题不同的解法中，会利用图形的几何性质简化计算，体会这种研究思路的逻辑必然，自己能提出研究问题.教学问题诊断分析运用坐标法解决问题的思路容易想到，但选择建立适当的坐标系、曲线方程的推导过程计算难度较大.这是本节课难点之一.在有关弦长问题解决中，对最值问题，需要观察几何性质，将问题转化或者进行代数运算，是本节的另一个难点.在教学过程中，用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”的思路需要教师引导.向量是解决问题的工具，向量的运算，是向量发挥工具价值的关键.根据几何问题，联想向量的运算，再示范过程、解释步骤.最后加练习，经历解决问题的过程，积累思维经验.通过问题串引导分析问题的转化过程.教学过程设计学习任务任务一回顾点和圆、直线与圆的位置关系：1．点和圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内2．直线和圆的位置关系直线与圆相离（或）直线与圆相切（或）直线与圆相交（或）课前小测1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(D)A．相交并且过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(A)A．eq\r(6)B．eq\f(5\r(2),2)C．1D．53.点在直线上，为坐标原点，则的最小值是(B)A. B. C. D.2任务二几何性质在直线与圆问题中的应用（数形结合）例1：平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值是（）.解：方法一：几何法观察点的运动轨迹，不难发现，点是单位圆上的动点.【点拨】圆上的动点到一条直线距离的最大值等于圆心到直线的距离再加上半径.根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，所以.方法二：代数法根据点到直线的距离公式，点到直线的距离，由三角函数的值域可得.变式．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值B.A．B．C．D．解：因为圆经过原点，将代入，可得，所以圆心的运动轨迹是单位圆.【点拨】本题中的圆半径为定值1，圆心在单位圆上运动.根据例1可知，要求圆上的点到直线距离的最大值，问题转化为求圆心到直线的距离，即单位圆上的点到直线距离的最大值.点到直线的距离，所以.例2．已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为C（A） （B） （C） （D）解：方法一：几何法圆心的运动轨迹是直线，半径，点在圆外.【点拨】圆外一点与圆上的点距离的最小值等于点与圆心的距离再减去半径，即.由图可知，问题转化为求点与圆心距离的最小值，即求点到直线上的点距离的最小值，即点到直线的距离.，.方法二：代数法点到圆心的距离，.例3.已知圆，直线，则当的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则的取值为（）A. B. C. D.解：方法一：几何法由题可知，为定值.分析直线被圆所截得弦长的图形特点，若弦长存在最小值，则点应该在圆内.根据弦长公式：，问题转化为求圆心到直线距离的最大值.可将直线看做过定点的动直线，由图可知，在直线变化过程中，点到直线距离的最大值，就是线段的长，此时垂直于直线.【点拨】1.一个点到过定点的动直线的距离最大值为两个定点间的距离.2.设点是圆内一点，过点作圆的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为．由，，.方法二：代数法解：由圆的半径为2，当的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，弦长一半的最小值是1，则圆心(0,0)到直线距离的最大值为3，由圆心(0,0)到直线距离为d=|m|k2+1，则当k=0时，dmax=|m|例4.已知直线，点圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（）.解：圆上任一点到一条直线的距离取最大值时，等于圆心到直线的距离加上半径长，.当最大时，即求圆心到直线的距离最大..因为直线，所以直线过定点.圆，圆心，半径.圆心到直线的距离最大值，此时.因为，所以.任务三直线与圆的位置关系的实际应用：步骤一建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素、如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题.步骤二：通过代数运算，解决代数问题.步骤三：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.方法二几何法：利用d与r的关系.点拨：适当利用图形的几何性质，有助于简化计算练习.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2m,水面宽12m,若水面下降1m,则水面的宽为m.

解：如图,建立平面直角坐标系,设初始水面在AB处,则由已知得A(设圆C的半径长为r(r>0),故圆C的方程为x2+(y+得r=10,所以圆C的方程为x2+当水面下降1m到A'B'时,设A'(x0,-3),(x0>0).将A'(方法二代入即可求圆的方程.拓展练习：（1）已知直线被圆所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有B（A）条 （B）