第十二周教案

课题空间向量及其加减运算课型新授课备课时间2022年11月12日上课时间11月16日总课时数第48课时教学目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法运算．教学重点空间向量的加减运算及运算律．教学难点应用向量解决立体几何问题．教学过程二次备课课题引入李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1000m，再向东行驶1500m，最后乘电梯上升12m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．那么以上三个位移是同一个平面内的向量吗？如何刻画李老师移动的位移？要解决这一问题需学习本节知识—空间向量．二．新授课1.空间向量：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．2.空间向量的表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3.特殊向量：零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.单位向量：模为1的向量叫单位向量.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.注意：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．空间向量的加法、减法：类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.（三角形法则、平行四边形法则）空间向量加法的运算律：(1)交换律a＋b＝b＋a；(2)结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．（教师引导学生证明）三．典例解析例1给出下列命题：①若空间向量a，b，满足|a|＝|b|，则a＝b；②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B反思：在空间，单位向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.答案（1）(2)反思;化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加、减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．课堂练习45页当堂检测1-41.注意区分向量与有向线段:向量可用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量.2.零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”.3.任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.向量加法与减法运算的技巧:(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.对于概念题,能准确熟练地掌握有关概念,特别是细微之处的差别,是解决这类问题的关键.课堂小结空间向量：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．2.空间向量的表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模3.特殊向量：零向量、单位向量、相反向量、相等向量。4.空间向量的加法、减法：三角形法则，平行四边形法则。5.空间向量加法的运算律：(1)交换律a＋b＝b＋a；(2)结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．六、布置作业必做：125页课时作业板书设计空间向量及其加减运算空间向量⒈定义及表示方法例12.特殊的空间向量3.加减运算4.运算律例2课后反思：向量的加法和减法要加强，课题空间向量的数乘运算课型新授课备课时间2022年11月12日上课时间11月17日总课时数第49课时教学目标掌握空间向量的数乘运算.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论．教学重点共线、共面向量定理及其应用.教学难点共线、共面向量定理及其应用．教学过程二次备课课题引入上一节课，我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间．我们知道平面向量还有数乘运算．类似地，空间向量是否也有数乘运算，其运算律是否也与平面向量完全相同呢？新授课空间向量的数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.注：向量共线（平行）不一定具有传递性2.向量共线问题如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②注：利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和三点共线问题．向量共面问题已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式．典例解析例1设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．证明连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).由题意知E为CD的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→)).eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．例2如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F，B三点共线．例3如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，求证：E，F，G，H四点共面．证明因为eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→)).由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).因此eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．课堂练习48页当堂检测1-4对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量.(2)λa=0⇔λ=0或a=0.(3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律仍然适用于空间向量.(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义.(2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b,则b∥a;但不具有传递性,即当a∥b,b∥c时,不一定有a∥c.(3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.判断两个向量a,b是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数x,使a=xb.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出a=xb,从而a∥b.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.证明共面问题的基本方法(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明:五.课堂小结1.空间向量的数乘运算：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。3.共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有六.布置作业必做：127页课时作业板书设计空间向量的数乘运算⒈空间向量的数乘运算例12.共线向量定理：例23.共面向量定理例3课后反思：空间向量的学习类比平面向量的相关知识。 课题空间向量的数量积运算课型新授课备课时间2022年11月12日上课时间11月18日总课时数第50课时教学目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单的问题．教学重点空间向量数量积运算.教学难点如何将立体几何问题等价转化为向量问题.教学过程二次备课一.课题引入在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，下面我们探讨如何用空间向量的数量积表示空间两条直线的夹角和空间向量的长度．二.新授课1.空间向量的数量积运算(1)两个向量夹角的定义:已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定：0≤〈a，b〉≤π.(2)向量的数量积:已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.零向量与任何向量的数量积为0.2.空间向量数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律:(λa)·b＝λ(a·b)交换律:a·b＝b·a分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c3.数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)④|a·b|≤|a|·|b|三.典例解析例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→)).分析:如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算.例2证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．已知如图，PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证l⊥PA.证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→)).因为l⊥OA，所以a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0.因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，因此a·eq\o(PO,\s\up6(→))＝0.又因为a·eq\o(PA,\s\up6(→))＝a·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a·eq\o(PO,\s\up6(→))＋a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，所以l⊥PA.例3已知a，b，c中每两个的夹角都是eq\f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，试计算|a＋b＋c|.解∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq\f(π,3)，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋2|a|·|c|cos〈a，c〉＋2|b|·|c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.四.课堂练习49页当堂检测1-41.当<a,b>=0时,两个向量同向共线;当<a,b>=π时,两个向量反向共线.若a∥b,则<a,b>=0或π.2.对空间任意两个非零向量a,b,有:(1)<a,b>=<b,a>;(2)<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>;(3)<-a,-b>=<a,b>.两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是向量,而向量的数量积的结果是数量;(2)书写要规范:不能写成a×b,也不能写成ab;(3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(a·b)c≠a(b·c),a·b=a·cb=c.五.课堂小结1.空间向量的数量积运算(1)两个向量夹角的定义:已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定：0≤〈a，b〉≤π.(2)向量的数量积:已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.零向量与任何向量的数量积为0.2.空间向量数量积的运算律:数乘向量与向量数量积的结合律:(λa)·b＝λ(a·b)交换律:a·b＝b·a分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c3.数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)④|a·b|≤|a|·|b|六.布置作业必做：129页课时作业板书设计空间向量的数量积运算⒈空间向量的数量积运算例12.数量积的运算律例23.数量积的性质例3课后反思：基底的应用要加强。课题空间向量的正交分解及坐标表示课型新授课备课时间2022年11月12日上课时间11月19日总课时数第51课时教学目标理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．教学重点理解空间向量基本定理，掌握空间向量正交分解及坐标表示.教学难点理解空间向量基本定理，掌握空间向量正交分解及坐标表示.教学过程二次备课一.课题引入在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．这三个向量能作为该空间的一组基底吗？若每层楼高3米，如何把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？二.新授课1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．三.典例解析例1以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③例2如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和.答案例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))的坐标．答案eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)．四.课堂练习51页当堂检测1-4设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O合得到.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).五.课堂小结1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.2．空间向量的正交分解及其坐标表示存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．六.布置作业必做：131页课时作业板书设计空间向量的正交分解及坐标表示⒈空间向量基本定理例1例32.空间向量的正交分解及其坐标表示例2课题空间向量运算的坐标表示课型新授课备课时间2022年11月12日上课时间11月20日总课时数第52课时教学目标理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．教学重点空间向量运算的坐标表示.教学难点空间向量运算的坐标表示的应用.教学过程二次备课复习引入平面向量的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2.a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝；cos〈a，b〉＝.设A(a1，b1)，B(a2，b2)，则A，B两点间的距离dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝二.新授课1．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).3．空间两点间的距离已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝三.典例解析例1设正四棱锥S—P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求eq\o(SP1,\s\up6(→))、eq\o(P2P3,\s\up6(→))的坐标．分析：建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜．（如图）答案eq\o(SP1,\s\up6(→))＝(1,1，－eq\r(2))eq\o(P2P3,\s\up6(→))＝(0，－2,0)例2棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长．分析：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．答案（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(