高等代数理论在中学数学中的应用

高等代数理论在中学数学中的应用

高等代数是高等数学专业的基本课程，是对初始代码的继续和改进。高中新课改形势下的师范院校数学系的学生,经常面临着怎样运用所学的大学数学知识指导中学数学这个老大难的问题。因此,在教学中应该注意联系中学教学实际,引导学生在中学知识和大学知识之间架起一座桥梁,从而顺利实现思维方式和学习方法的过渡和转变,指导学生、也是未来的中学数学教师能利用课程的理论、方法与观点去剖析中学数学的方法问题,有利于帮助他们融会贯通中学数学的相关内容,提高解决中学数学问题的能力,高屋建瓴地深刻理解中学数学有关内容的来龙去脉,知其然且知所以然,培养较高层次的数学素质,为今后的教学实践打下专业基础。同时,反过来也有利于激发学习兴趣,促进知识深化。笔者结合多年的课程教学实践和体会,研究高等代数的方法与观点在中学数学中的主要应用,从数学知识、数学思想方法、数学观念等方面发掘高等代数与中学数学的联系。一线性方程组理论的应用1.消元法的应用线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则。Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。2.平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都很难保证对应关系利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于3;平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2;平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。二第一,国家的线性相关概念具有移动性三维线性的基本概念,在整个行向量组和一个线性方程组同解的基础上,各向量思想体现了数学的抽象性与严谨性,反过来又展示了应用广泛性的特点,向量之间的线性相关性有着明显的几何意义。一维情况:非零向量a与向量e共线(平行)的充要条件是a可由e线性表示。更一般的,两个向量共线(平行)的充要条件是它们线性相关。二维情况:向量a与不共线的两个向量e1,e2共面的充要条件是a可由e1,e2线性表示。更一般的,三个向量共面的充要条件是它们线性相关。三维情况:空间中任意向量都可由不共面的三个向量线性表示。更一般的,空间中任意四个(以上)向量总是线性相关。此外,线性相关性的概念可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,那这个方程就是多余的。把每个线性方程看成一个行向量,那么两个线性方程组同解相当于对应两个行向量组等价。把各系数列看成向量组,则线性方程组有解相当于常数列向量可由系数列向量组线性表示。三角形面积的定义行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。任给实数域上的3阶行列式在几何空间中取定一个右手直角坐标系[O;e1,e2,e3],设向量→a,→b,→c的坐标分别为(a1,a2,a3),(b1,b2,b3,)(c1,c2,c3)以向量→a,→b,→c为棱的平行六面体的体积为V=︱→a×→b︱⋅|c|⋅︱cos(→c,→a×→b)︱=︱(→a×→b)⋅→c︱其中(→a×→b)⋅→c称为相应的定向体积。经过计算可得可见3阶行列式的几何意义是以它的列向量为棱的平行六面体的定向体积。此外,当系数行列式不等于零,可以利用行列式给出线性方程组的公式解;已知顶点坐标或三边方程,就可以用行列式来表示三角形面积;利用行列式,也可求平面、直线方程。等等。这些问题都和中学数学紧密相关。四元二次型5x-3y2+4x+2yz-6z2中学数学里有时遇到多元二次多项式的因式分解问题,我们可以利用高等代数中二次型理论来探讨复数域和实数域上多元二次多项式的分解条件及分解方法。实际上,n元二次多项式可以和n+1元二次型联系起来。比如由二元二次多项式5x2-3y2+4xy+2y-6可构成三元二次型5x2-3y2+4xy+2yz-6z2反之,由二次型取z=1,得相应的二次多项式。一般地,如果n元二次多项式为∑1≤i≤j≤naijxixj+n∑r=1ar,r+1xr+an+1,n+1则称n+1元二次型∑1≤i≤j≤n+1aijxixj为对应的二次型。容易证明:n元二次多项式可分解的充要条件是对应的二次型可分解为两个n+1元一次齐次式的乘积。因此可以主要考虑二次型的分解。根据二次型理论,可以证明以下结论:复数域上二次型可分解的充要条件是它的秩不超过2;实数域上二次型可分解的充要条件是它的秩等于1,或者秩是2且符号差是0。这个结论表明了二次多项式或二次型可分解与否的判别方法,至于具体的分解方法,一般是利用配方法或二次型理论中的矩阵合同变换法把二次型先化为标准型,再作进一步的因式分解。五a0bnbn-1+a.a0范围内最大公因式f利用增广矩阵可以很清晰地表示消元法的过程;利用矩阵乘积,可以轻易地得到变量之间的线性关系。在初等数学中,求两个多项式的最大公因式一般用因式分解和辗转相除的方法,运算过程较为复杂。如果采用矩阵的知识,可使求解过程简洁许多。原理:首先,根据多项式理论,容易得到以下结论(f(x),g(x))=(f(x),kg(x)),k≠0;(f(x),g(x))=(f(x)+kg(x),g(x)),k是常数;(f(x),g(x))=(f(x),xg(x)),其中f(x)的常数项非零。用矩阵(anan-1⋯a0bnbn-1⋯b0)表示两个多项式anxn+an-1xn-1+…+a0和bnxn+bn-1xn-1+…+b0这样,结论表明对该矩阵做初等消法行变换和初等倍法行变换以后不改变最大公因式;同时,还表明当a0≠0‚(anan-1⋯a0bnbn-1⋯b0)的最大公因式与(anan-1⋯a0bn-1⋯b00)的最大公因式相同(至多相差常数倍)。于是,可以对上述矩阵做以上三种变换,使得其中的某行都是零或者只有一个非零数,进而可很快求出它们的最大公因式。比如求f(x)=2x3-5x2+x+2,g(x)=4x3-3x-1的最大公因式。按照以上分析,只要对矩阵进行以上三种变换,有因此,(f(x),g(x))=(2x2-x-1,0)=2x2-x-1六关于问题的理论探讨多项式是中学代数的重要内容,但中学主要侧重于多项式的运算。多项式理论是高等代数的重要内容之一、相对独立而自成体系,却为高等代数的基本内容提供了理论依据。多项式是最常见的初等函数,应用非常广泛,多项式理论中的一些重要定理和方法,在进一步学习数学理论和解决实际问题时经常要用到。和中学内容相比,高等代数的多项式理论的深度、广度以及规范化程度都明显加强了。代数的基本任务之一是解方程,而因式分解是解方程的法宝。在现行中学教材中,把因式分解特殊化、简便化,讲授了一些的分解因式的方法与技巧,但不涉及它们的理论,对所谓的“不能再分解”、“分解是否唯一”等问题都没有进行讨论。在这个方面,高等代数从最大公因式的理论与求法、不可约多项式的类型和判别、因式分解的存在唯一性、可行性等问题进行了理论探讨;其中,关于最大公因式、辗转相除法、重因式、三大特殊数域上的因式分解、根与系数关系的推广、有理根的理论与方法,对中学数学的教学与竞赛更具理论指导意义。七使用矩阵的限制矩阵作为高等代数的主要研究对象和最重要的工具,充分体现了将有关抽象内容的研究通过矩阵的具体运算得以实现的重要思想与方法。矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具,有着广泛的应用,许多数学模型都可用矩阵来表示。在普通高中数学新课改中,“矩阵与变换”是选修模块之一,它通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法与性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念,初步展示了矩阵应用的广泛性。由于几何变换包括合同变换、相似变换和反演变换等,矩阵与几何变换联系密切,是表示变换的有效方法,矩阵乘积可以表示变换的合成。矩阵乘积可以表示变换的合成,比如(cosθ-sinθsinθcosθ)A表示A中的坐标或它代表的图形绕原点旋转θ角。此外,矩阵在二次曲线(圆锥曲线)的化简与分类也是个有效工具。八欧氏空间几何模型中学数学通过坐标系建立了点的坐标。高等代数则通过公理化方法推广了几何空间,阐述了抽象的线性空间与向量理论。利用基建立了线性空间中各种向量的坐标,推导出了向量及向量数乘的坐标计算公式和坐标变换公式。几何空间是欧氏空间最简单的模型。欧氏空间给出了在标准正交基下,向量的长度、内积、距离、夹角的坐标计算公式,这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广。欧氏空间的理论,有助于更深刻理解几何空间中向量长度、夹角、距离等度量概念和特征。利用内积的基本性质,容易得出著名的勾股定理、余弦定理、Cauchy不等式和一些几何结论;通过标准正交基,可以深刻把握坐标系的本质;通过正交变换,可以进一步领会中学里的旋转变换和平移变换的属性,等等。九与中学数学的联系笛卡儿积X×Y的子集称为集合X到Y的一个关系,其中等价关系和序关系是最重要的。映射(函数)就是一种特殊的关系。中学数学中常见的关系很多,有的是序关系,有的是等价关系,可以对众多的关系进行系统的归纳,把中学数学的相关内容统一在更高观点之下。2007年福建省高考数学试卷第16题,就引入了代数学里的重要概念——等价关系,要求考生在中学数学范围内给出几个实际例子。该题通过概念与法则的构造,来考查学生对数学概念的理解、分析与判断能力,立意较为新颖,体现了高等代数观点在中学数学的渗透,曾在福建中学数学界引起较大反响。高等代数许多内容的知识背景源于中学,是在具体的代数结构基础上得出的公理化论述,也就是从个性中提炼出来的共性。在课程教学改革实践中,不仅要挖掘知识体系方面的联系,更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系。从数