第二课时等比数列的性质及其应用

第二课时等比数列的性质及其应用题型一等比数列的性质

[探究发现](1)公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？提示：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是递减数列．(2)已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.①将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？②取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？③在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？提示：①是，首项为ak＋1，公比为q；②是，首项为a1，公比为q2；③是，公比为q11.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列．

[方法技巧]等比数列的性质(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.(3)等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.(5)在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．[提醒]在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．

[对点练清]1．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于 (

)A．12 B．6C．－12 D．－6题型二灵活设元求解等比数列问题

[学透用活][典例2]有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[对点练清]1．若将本例改为：有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数的积为－128，中间两个数的积为16，求这四个数．如何求解？2．若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后所得数成等差数列，求这四个数．题型三等比数列的实际应用问题

[学透用活][典例3]

从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?[方法技巧]数列实际应用题常与生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[对点练清]某工厂2021年1月的生产总值为a万元，计划从2021年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2022年8月底该厂的生产总值为多少万元？[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求{an}的通项公式．二、应用性——强调学以致用2．2018年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.(1)哪一年两