线性代数的基本理论

线性代数的基本理论

0行列式理论和矩阵理论显然，方程组的解决方案与系数和常数项有关。这本来是一个纯代数问题,如果我们把这个纯代数问题与几何结合起来,在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系,就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。1关于1第2—标准形式的2元线性方程组定义1如果线性方程组的未知数的个数与方程的个数相等,则称其为标准形式的线性方程组。已知标准形式的2元线性方程组{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2。(1)用加减消元法消去(1)式中的一个未知数,若a11a22-a12a21≠0,则得线性方程组(1)式的惟一解及求解公式x1=b1a22-b2a12a11a22-a12a21‚x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21x1=b1a22−b2a12a11a22−a12a21‚x2=a11b2−a21b1a11a22−a12a21。(2)定义2结合几何概念,我们把(1)式中的2×2个系数按其相对位置构成的如下数学表达式称为由2×2个系数排定位置的2阶行列式(也称为(1)式的系数行列式)。由2阶行列式的定义,将(3)式中D的第1、2列的数分别换成(1)式中的常数项,则得2个新的2阶行列式D1=|b1a12b2a22|=b1a22-b2a12D1=∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣=b1a22−b2a12,(4)D2=|a11b1a21b2|=a11b2-a21b1。(5)于是,2元线性方程组(1)式的求解公式(2)式就可以写成容易记忆的公式x1=D1D=|b1a12b2a22||a11a12a21a22|‚x2=D1D=|a11b1a21b2||a11a12a21a22|。(6)例1求2直线2x+y=5,x-3y=1的交点。解此题等价于求解2元线性方程组{2x+y=5x-3y=-1‚把具体系数和常数项代入(6)式得解x1=|51-1-3］|211-3|=-14-7=2,x2=|251-1||211-3|=-7-7=1。故2直线的交点为(2,1)。2建立加减消元法已知标准形式的3元线性方程组{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3。(7)定义3结合几何概念,我们把(7)式中的3×3个系数按其相对位置构成的如下数学表达式称为由3×3个系数排定位置的3阶行列式(也称为(7)式的系数行列式)。由3阶行列式的定义,将(8)式中D的第1、2、3列的数分别换成(7)式中的常数项,则得3个新的3阶行列式D1=|b1a12a12b2a22a23b3a32a33|=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-a13a22b3-a12b2a33-b1a23a32‚(9)D2=|a11b1a13a21b2a23a31b3a33|=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a13b2a31-b1a21a33-a11a23b3‚(10)D3=|a11a12b1a21a22b2a31a32b3|=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-b1a22a31-a12a21b3-a11b2a32。(11)当D≠0时,用适当的加减消元法,可得线性方程组(7)式的惟一解求解公式x1=D1D‚x2=D2D‚x3=D3D。(12)例2求3平面x-y+2z=13,x+y+z=10,2x+3y-z=1的交点。解此题等价于求解3元线性方程组{x-y+2z=13x+y+z=102x+3y-z=1。把具体系数和常数项代入(12)式得解x=D1D=1‚y=D2D=2‚z=D3D=7。故3平面的交点为(1,2,7)。3阶行列式的数学形式定义4在n个自然数码1,2,…,n的一个全排列(i1,i2,…,in)中,如果某个小数排在了某个大数之后,就称这个排列中出现了一个逆序。一个全排列逆序的总数称为该排列的逆序数,记为σ(i1,i2,…,in)。例如,5个数码1,2,3,4,5的3个全排列的逆序数分别为σ(12345)=0,σ(54321)=10,σ(15432)=6。分析2阶行列式(3)式D=|a11a12a21a22|=a11a22-a12a21可知,其数学表达式共有2(2=2!)项,1项带正号1项带负号1=2!2;每项2个因子,分别来自D的不同的行和不同的列,2个因子的第1下标的数码排成自然顺序后,第2下标恰为2个数码1,2的某个全排列(共2=2!个全排列),逆序数σ(12)=0(偶数)的项带正号,逆序数σ(21)=1(奇数)的项带负号。分析3阶行列式(8)式可得同样的结论,其数学表达式共有6(6=3!)项,3项带正号3项带负号3=3!2;每项3个因子,分别来自D的不同的行和不同的列,3个因子的第1下标的数码排成自然顺序后,第2下标恰为3个数码1,2,3的6个全排列,逆序数σ(123)=0,σ(231)=2,σ(312)=2(偶数)的项带正号,逆序数σ(321)=3,σ(213)=1,σ(132)=1(奇数)的项带负号。由此,我们给出n阶行列式的定义定义5结合几何概念,我们把n×n个排定位置的数构成的如下数学表达式称为n阶行列式,其中aij为D的第i行、第j列的元素,(i1,i2,…,in)为n个自然数码1,2,…,n的某个全排列(共有n!个),Σ是对这n!项求和。4线性方程组1已知标准形式的n元线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn。(14)令D=|a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann|‚D1=|b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯bnan2⋯ann|‚⋯‚Dn=|a11a12⋯b1a21a22⋯b2⋯⋯⋯⋯an1an2⋯bn|。(15)当D≠0时,用数学归纳法可以证明:线性方程组(14)式的惟一解求解公式为x1=D1D,x2=D2D,⋯,xn=DnD。(16)例3解线性方程组{x1+x2-2x3+x4=1x1+x2+x4=2x1-x2+x3+2x4=1x1+x3-x4=1。解把具体系数和常数项代入(15)式得解x1=D1D=-8-10,x2=D2D=-9-10,x3=D3D=-5-10,x4=D4D=-3-10。5