行列式与线性代数

行列式与线性代数

列方程是线性代数的中心和基础，是线性代数理论的极其重要组成部分。这不仅有助于解决一些数学问题，而且有助于解决。一、例1:解方程x2+7x-10x2+7x+10=x2+10x2-10解:方程为:|x2+7x-10x2+10x2+7x+10x2-10|=0⇒|7x-20x2+107x+20x2-10|=0⇒|7x-20x2+102-1|=0⇒2x2+7x=0⇒x1=0‚x2=-72例2:解方程:√x+√x-2√x-√x-2=4x-52解:方程为:|√x+√x-24x-5√x-√x-22|=0|2√x4x-3√x-√x-22|=0⇒|2√x4x-32√x-24x-7|=0⇒|x(4x-3)2x-2(4x-7)2|=0⇒|x16x2-24x+9116x-20|=0⇒4x-9=0⇒x=94二、sincoscoscoscoszcoscoszcos其计算公式例3:已知:xsinα+ysinβ+zsinγ=0,xcosα+ycosβ+zcosγ=0证明:sin(β-γ)x=sin(γ-α)y=sin(α-β)z证明:由:{xsinα+ysinβ=-zsinγxcosα+ycosβ=-zcosγ得:D=|sinαsinβcosαcosβ|=sin(α-β)Dx=|-zsinγsinβ-zcosγcosβ|=zsin(β-γ)Dy=|sinα-zsinγcosα-zcosγ|=zsin(γ-α)因此:x=zsin(β-γ)sin(α-β)‚y=zsin(γ-α)sin(α-β)故sin(β-γ)x=sin(α-β)z=sin(γ-α)y例4:在ΔABC中求证:cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1证明:在ΔABC中有:{-a+bcosC+ccosB=0acosC-b+ccosA=0acosB+bcosA-c=0由于a,b,c均不为零,因之关于a,b,c的齐次线性方程组有非零解:即:|-1cosCcosBcosC-1cosAcosBcosA-1|=0⇒cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1三、行列式分解因式a例5:分解因式(cd-ab)2-4bc(a-c)(b-d)解:(cd-ab)2-4bc(a-c)(b-d)=|cd-ab2(ab-bc)2(bc-cd)cd-ab|=|cd-abab+cd-2bc2(bc-cd)-(ab+cd-2bc)|=(ab+cd-2bc)|cd-ab12(bc-cd)-1|=(ab+cd-2bc)2例6:分解因式a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)解:a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=|aa21bb21cc21|=|1aa21bb21cc2|=(c-a)(c-b)(b-a)利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则。四、ax+y1x1y213y213.2算法思想例7:试求通过平面上两已知点A(x1,y2),B(x2,y2)的直线方程。解:设所求直线方程为:ax+by+c=0且a,b,c不全为零由于点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线上,所以它满足所给直线方程。即:ax1+by1+c=0,ax2+by2+c=0因此有:{ax+by+c=0ax1+by1+c=0ax2+by2+c=0这是一个以a,b,c为未知量的齐次线性方程组,且a,b,c不全为零,说明该齐次线性方程组一定有非零解,于是有:|xy1x1y11x2y21|=0这就是通过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程。同理可求得通过空间三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的平面方程为:|xyz1x1y1z11x2y2z21x3y3z31|=0通过平面上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圆的方程为:|x2+y2xy1x12+y12x1y11x22+y22x2y21x32+y32x3y31|=0例如通过三点A(1,-1),B