正余弦定理知识点及题型归纳

解三角形一．正弦定理：a b csinAsinBsinC=2R，其中R正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC2.(1) sinA=a/2RsinB=b/2RsinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二．余弦定理：1. a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA2. b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB3. c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)2. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)3. cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c〕三．余弦定理和正弦定理的面积公式1 1 1S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB〔常用类型：三角形两边及其夹角〕有两种途径：将的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解将的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)两角及一边解三角形例1 在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.〔二〕两边和其中一边对角解三角形例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，假设a=2√3，b=√6，A=45C〔三〕两边及夹角，解三角形例3 △ABC中，b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角A，角C和边a.例四：在△ABCB=30°,AB=2,AC=2,则△ABC例五.推断三角形的外形正弦定理推断在△ABCa2tanB＝b2tanA，试推断△ABC的外形．余弦定理推断在△ABCb2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试推断三角形的外形．例六推断解得个数不解三角形，推断以下三角形的解的个数：〔1〕a=5,b=4,A=120度〔2〕a=7,b=14,A=150度〔3〕a=9,b=10,A=60度〔4〕c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的根本元素线(高线、角平分线、中线)及周长等根本问题．1、ABCA3

，BC＝3，则ABC的周长为〔〕4 3sinB3

4 3sinB3

6sinB33A． 3

B． 6 6

C． 3 36sinB36D． 6 2、在ΔABC中，AB4

,cosB

6，AC边上的中线BD=5sinA的值．3 63、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设∠C=120°，c=2a，则A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.a与b的大小关系不能确定4、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，假设a2b2

3bc，sinC2 3sinB，A=〔A〕300

〔B〕600

〔C〕1200

〔D〕15005、在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=2 2 2 2 6 6A－ B C－ D3 3 3 36、在△ABC中，假设b=1，c=3，C2，则a= 。37、在△ABC中，B=45°,DBC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB8、在锐角ABCBC1,B2A则为 .

AC 的值等于 ，AC的取值范围cosA9ABCA,B,C所对的边分别为a,b,c，tanCsinAsinB,sin(BA)cosC.cosAcosB〔1〕求A,C；〔2〕假设S 3 3,求a,c.ABC二、推断三角形的外形：给出三角形中的三角关系式，推断此三角形的外形．1、在ABC中，2sinAcosBsinC，那么ABC肯定是〔〕A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形2、18.假设△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC〔A〕肯定是锐角三角形. 〔B〕肯定是直角三角形.〔C〕肯定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1、在ABC中，假设A120，AB5，BC7，则ABC的面积S＝ 四、求值问题1、在ABCA、B、C所对的边长分别为a、b、c，c 1a、b、c满足条件b2

3，求A和tanB的值．2b a、在锐角三角形ABCABC的对边分别为abc，

ab

6cosC

tan= 。taA taB、 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.〔Ⅰ〕求A〔Ⅱ〕求sinBsinC的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问，例析如下：〔一.〕测量问题 C11A、B望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。A D B〔二.〕遇险问题 图1215°30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东 北30°北假设此灯塔四周