第22讲 抛物线中的5种最值问题（解析版）

第22讲抛物线中的5种最值问题题型目录：题型一：过焦点的弦通径最小题型二：利用基本不等式求抛物线最值问题题型三：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值题型四：利用直线与抛物线相切求最值题型五：抛物线与圆结合最值问题【典型例题】题型一：过焦点的弦通径最小【例1】（2022·广东揭阳·高二期末）已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．【答案】9【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半.【详解】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，若的最小值为6，，又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D，，.故答案为：9.【例2】（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知抛物线C：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A､B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，下列说法正确的是（

）A．线段AB长度的最小值为4 B．以AB为直径的圆与直线y=-1相切C．的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO【答案】ABD【分析】根据抛物线通径判断A，根据抛物线定义及直线与圆相切的条件判断B，根据向量的坐标运算判断C，利用斜率之和为0判断D.【详解】如图，过A、B作准线y=-1的垂线，垂足分别为H、G，设线段AB的中点为C，C在准线上的射影为D.当线段AB为通径时长度最小为，故A正确；因为直线为抛物线准线，由抛物线定义可知弦AB的中点到准线的距离CD等于，故圆与直线相切，故B正确；由题意，设，，直线方程为，则可得，所以，，故的取值范围为[0，+∞），故C错误；由C中解答知，,，所以直线与直线的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO=∠BMO，故D正确.故选：ABD【题型专练】1．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点，，求C的方程；【答案】；【分析】设直线，，求出，得当与x轴垂直时弦长最短，即得解；【详解】设直线，，由可得，，所以，所以当，即与x轴垂直时弦长最短，此时，所以，所以抛物线C的方程为；2．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测多选题）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（

）A．若直线l垂直于x轴，则 B．C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2【答案】ABD【分析】联立抛物线与直线求其交点判断A，联立直线的方程与抛物线的方程，结合设而不求法判断B，结合抛物线定义判断C，利用设而不求法判断D.【详解】直线l垂直于x轴时，其方程为，联立可得或，所以，，所以，A对，由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为，联立化简可得，，设，则，，B对，点N在以AB为直径的圆上，则，又所以，又，所以，所以，所以，故，此时直线l的斜率为2，D对，过点作垂直与准线，垂足为，过点作垂直与准线，垂足为，则，所以，当且仅当点的坐标为时等号成立，所以的最小值为4，C错，故选：ABD.3.（湖南省部分校2022-2023学年高三上学期入学检测数学试题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：【答案】ACD【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；对于B选项，由题意，作图如下：则，轴，轴，即，，，，即，，，，，，故错误；对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.故选：ACD.题型二：利用基本不等式求抛物线最值问题【例1】（2022·广东茂名·高二期末）已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用坐标表示，再利用基本不等式求最值取得时的值，再结合椭圆的定义求，即可求得离心率.【详解】设点，，,其中，当时，；当时，，因为，，当，即时，等号成立，当时，取得最大值，此时；根据椭圆的定义可知，即，椭圆的离心率故选：A.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，以为直径的圆过点，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先设出，由抛物线定义求出，勾股定理求出，结合基本不等式求出的最大值即可.【详解】如图，以开口向右的抛物线为例，过作垂直于准线，垂足为，设，则，以为直径的圆过点，则，，则，则，当且仅当时取等，即的最大值为.故选：C.【题型专练】1．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.故选：C题型三：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．【答案】【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线方程为．过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，则，当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值.【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.【例3】（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（

）A．当时，的最小值为3B．当时，的最小值为4C．当时，的最大值为1D．当轴时，为定值【答案】BCD【分析】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；【详解】解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，设与准线交于点，则，所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；对于D：抛物线，焦点，准线方程为，当，此时，则，解得，即或，如图取，则，，所以，故D正确；故选：BCD【例4】（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则．故选：B．【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）设是抛物线上的一个动点，点是焦点．(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)，(2)4【分析】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，连接交抛物线于点，即可求得答案；（2）作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，利用抛物线定义将转化为,即可求得答案.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线是．由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离，所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，如图，当A，，共线时上述距离之和最小，连接交抛物线于点，此时所求的最小值为．（2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，此时,当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值为4．2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由条件求出的坐标，结合抛物线的定义求的最小值.【详解】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．【答案】

##3.5

【分析】先判断出点在抛物线内部，再根据抛物线的定义以及点到直线的距离最短即可解出．【详解】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．故答案为：；．题型四：利用直线与抛物线相切求最值【例1】（2022·湖北·黄冈中学三模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________.【答案】

，

【分析】空1：设直线联立方程可得，根据题意可得，代入可解得；空2：根据抛物线定义取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，利用导数求切线分析求解．【详解】设过点的直线为，联立方程消去得，可得∵，则可得：，可得，解得过点作准线的垂线，垂足为，则可得若取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，即，则设，则切线斜率，切线方程为切线过，代入得，解得，即则，即则的最大值为故答案为：；．【例2】（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．【答案】【分析】结合图象及正弦定理和抛物线的性质可得，进而可知当直线与抛物线相切时最小，也最小，设直线方程，与抛物线方程联立，即可求得结果.【详解】解：如图，点在抛物线的准线上，设点在准线上的射影为，由正弦定理和抛物线的性质可知：，当直线与抛物线相切时最小，也最小．设的方程为，与联立得，由，解得，当时，．故的最小值为．故答案为：.【题型专练】1．（2022·全国·高二专题练习）已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为_____.【答案】【分析】由题意可知求得与直线平行和抛物线相切的切线方程，则的最小值即为这两平行线间的距离，即可求得答案.【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则的最小值即为这两平行线间的距离，联立消去，得，，即得直线和相切，故的最小值即为这两平行线间的距离，最小距离为，故答案为：2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.【答案】3【分析】由抛物线的定义将原式转化后求解即可.【详解】，由抛物线的定义知等于到准线的距离，记直线与准线的夹角为，可得，①若斜率不存在，则原式，②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小，设的直线方程为，联立得，由得，即，故，此时故答案为：33.（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，分析可得，当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，设出直线的方程，将抛物线的方程，由可求得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.【详解】抛物线的准线为，焦点为，易知点，过点作，垂足点为，由抛物线的定义可得，易知轴，则，所以，，当取得最大值时，取最小值，此时最大，则直线与抛物线相切，由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立可得，则，解得，因此，直线的倾斜角为或.故选：D.题型五：抛物线与圆结合最值问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（

）A．的最小值为1 B．的最小值为C．的最小值为4 D．的最小值为【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.【详解】抛物线焦点为，准线为，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．故选：AC.【例3】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．【答案】【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.【详解】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为，故答案为：【例4】（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.【答案】【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.【详解】解：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，四边形的面积，又，所以，由抛物线定义，得，又，所以，所以，所以.故答案为：.【题型专练】1．（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.【答案】【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，圆的圆心坐标为，半径为，设点到抛物线准线的距离为，则，故，所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离