一致收敛函数列性质的应用

PAGEPAGE17全都收敛函数列性质的应用设是在上有定义的函数列，满意对某一,是一个有界数列；对任意，存在一个，使当,且时,对一切自然数，有.求证:(1)在上全都有界；(2）存在一个子序列，使得在上全都收敛.注：此题即是闻名的阿尔采拉定理。 证明:(１）证明在上全都有界.对,存在,当,且时，对于一切有.取正整数,使得，记，,是一个有界数列，存在，使得，;存在使得，，对任意，存在使得,，；不妨设,,,即得在上全都有界．（2）设是中的全部有理数，对每一，是有界数列，由聚点定理,存在收敛的子列,取子列的子列，利用对角线法则，可选到的子列，使得，对每一,收敛，下证在上全都收敛．对任意，存在一个,当,时,有，取正整数充分大,使得，,，区间被分割成个小区间，，在每一区间上取出一个有理点,，由于收敛，对上述,存在，当时，，对任意,存在一个区间,使得,，综合以上不等式，得，即得在上是全都柯西列，故在上全都收敛．求证：在内全都收敛。证明:,只要证明级数在上全都收敛即可,关于n单调递减,又依据Diｒｉｃhlet判别法,得级数在内全都收敛.依据Abｅｌ判别法,在内全都连续。当时，于是在上全都收敛,故它在上全都收敛。1、证明在上全都收敛。证明设，显然,当时,有,由Ｃauｃhy根值判别法或达朗贝尔比值法可知，收敛。故由Weiｅrstrass判别法可知，在上全都收敛。２、设，判别函数项级数在上的全都收敛性.解对,,；记,对任意，当时,,从而知在上全都收敛;假如在上全都收敛,由每项连续的全都收敛的函数项级数的性质，和函数应在上连续;但,，在处不连续，冲突。所以在上不全都收敛；故在上不全都收敛。或者，；，取，，，所以在上不全都收敛；或者对任意正整数，取,，，所以在上不全都收敛。3、设，判别函数项级数在上的全都收敛性。解记，对任意,当时,,从而知在上全都收敛;对，，；，在上连续,依据狄尼定理，在上全都收敛;综合以上结果,故在上全都收敛。4、设，判别函数项级数在上的全都收敛性。解记,存在正整数,使得,对任意，当时，,从而知在上全都收敛；当时,从而可知在上全都收敛；综合以上结果,故在上全都收敛。设，求函数的定义域，并证明函数在定义域上有界。解设，显然,收敛;当时，,，当时，收敛；当时，发散,于是的定义域为；对,,已知收敛，故有，即在上有界。5、证明在上不全都收敛.证明记，对任意正整数，取,，，所以在上不全都收敛。四、设收敛，，证明。证明：证法一:我们有，由假设条件收敛,知收敛,而关于单调且全都有界，从而由判别法知收敛，即有定义，由于收敛，对任意存在正整数，使得当时，有,此时，对任何以及，，从而，此时有，所以，，，即。证法二：我们有,由假设条件收敛，可知关于是全都收敛的,；又关于单调，且,从而由判别法知关于是全都收敛的，依据函数项级数全都收敛的性质定理，。10、设显然在上全都收敛于.11、设显然有且在上全都收敛于存在，但发散。12、设则有在上全都收敛于，收敛，但发散。由于所以在上全都收敛于;或对任意在上全都收敛,关于是全都的，所以在上全都收敛于８、设商量级数的全都收敛性。解设当时，所以对在上收敛,由得于是当时，级数在上是全都收敛的。当时，对任意正整数,取,,则有从而可知，当时,级数在上不全都收敛。8、设。证明证明对，有展开式，记,则有，,；显然，对任意，在上全都收敛于，由于,而收敛，利用积分掌握收敛定理，得ﻩ。4、求证证明证法一由得,利用积分掌握收敛定理,得。证法二利用,考虑存在使得当时，有由的任意性,得故有５、证明。证明由于所以原命题等价于利用斯特灵公式注意到有于是考虑存在使当时，有当时,有由的任意性，得故有.原命题得证.定理设是上的函数列，满意条件：(１），且关于是全都的；（２)对每一，在上全都收敛于0，则是上全都收敛于０。证明对任意，由于关于是全都,存在，当时,对一切，有，由于在上全都收敛于0，对上述，存在,当时,对，都有，综合以上所得,便知在上全都收敛于０.定理１设是上的函数,满意条件:（１)，对是全都的；（２）对任意，当时,在上全都收敛于0,则当时，在上全都收敛于０,定理2设是上的函数，满意条件：（1）,对是全都的；（2）对任意，当时,在上全都收敛于0,则当时,在上全都收敛于0,试证:关于全都收敛。证法一由不等式,得，而收敛，所以关于全都收敛。证法二由，对，，由此即得关于全都收敛.由，，所以，关于都全都收敛。例7。1.13证明在上全都收敛，（常数)。分析：问题在于:，找,使得时，有,因，（1）但,从而对于，对任意，都有积分已成立。剩下的问题只在于找（充分大)，使得时,有一切，有，由于被积函数,当时，有,，