线性方程的条件数与性态问题

线性方程的条件数与性态问题

当从实际问题创建的线性方程ax=b.由于初始数据的干扰，计算结果明显失真时，该方程被称为病态方程。为此引入系数矩阵的条件数来刻划一个线性方程组的性态问题.当条件数相对大,则称方程组Aχ=b是病态方程组;反之条件数相对小,则称方程组是良态方程组.然而,至于条件数大到什么程度,方程组才是病态的,至今还没有一个标准.而且当矩阵的阶数n比较大时,计算A-1很麻烦,用条件数判定非常困难.另外,对于同一方程组而言,扰动数量级不同,判定结论应有所不同才合理.2非线性方程的原因2.1[x,y]x对于n维向量x,y,当‖x‖≠0,‖y‖≠0时,θ=arccos[x,y]∥x∥⋅∥y∥θ=arccos[x,y]∥x∥⋅∥y∥,称为n维向量x与y的夹角.根据模式识别的基本原理,我们这样度量两个向量间相似程度(或称相关程度).令r(x,y)=cosθ.当[x,y]=0时,向量x与y正交,此时向量x与y的相关程度为0;当cosθ=0,即x=y时,此时向量x与y的相关程度为1;当x→y时,x与y的相关程度趋近1.2.2相关程度的度量设方程组Ax=b的系数矩阵A是一个n×n的矩阵,其中aj=(a1j,a2j,…,anj)T,(j=1,2,…,n).如果仅用向量组线性无关与相关难以反映向量组的变化情况.下面我们用相关程度的概念来度量.对于系数矩阵A,必然存在一组实数k1,k2,…kn-1,使得k1a1+k2a2+…+kn-1an-1=b为向量an的最佳逼近,定义向量组的相关程度为r(a1,a2,…,an)=r(an,b),则有1)b=an,则r(a1,a2,…,an)=1,即线性相关,此时D=0;2)b→an,此时,D→0,r(a1,a2,…,an)→1;3)b⊥an,即向量组a1,a2,…,an两两垂直,则r(a1,a2,…,an)=0,此时,D是一个相对较大的值(具体大小与系数有关).2.3u3000an相关程度对方程起色量的影响对于给定的方程组Ax=b,当D≠0时,方程组有唯一解:x1=D1D,x2=D2D,⋯,xn=DnDx1=D1D,x2=D2D,⋯,xn=DnD.设发生扰动后对于行列式Dj有一个增量ΔDj,则发生扰动后(设D+ΔD≠0),则扰动后的结果为:x´1=D1+ΔD1D+ΔD,⋯,x´n=Dn+ΔDnD+ΔDx′1=D1+ΔD1D+ΔD,⋯,x′n=Dn+ΔDnD+ΔD.当r(a1,a2,…,an)较小时,则行列式D的绝对值是一个相对较大的数值.对于较小的扰动而言,有|D|>>|ΔD|,ΔDj→0.有x´j=Dj+ΔDjD+ΔD=DjD+ΔD+ΔDjD+ΔD≈DjDx′j=Dj+ΔDjD+ΔD=DjD+ΔD+ΔDjD+ΔD≈DjD可以看出,当向量组a1,a2,…,an相关程度较小时,较小的扰动对方程的结果影响不大.然而当向量组a1,a2,…,an相关程度较大时,此时D较小,扰动对结果的影响将随向量组a1,a2,…,an相关程度的增加而迅速变化,这是病态方程组产生的原因.3对病态方程的评估方法通过前面的讨论,对于方程组Ax=b,我们只要计算系数矩阵A的行列式D即可.3.1关于模式1.2.2回归系数的生成D的选取实际工作中,对于不同的情况,其不仅要考虑到扰动数量级的大小,还要考虑到系数大小对其的影响.因此,D的大小如何选取是一个主要问题.如{2x1+3x2=82x1+3.0001x2=8.0002(1){2000x1+3x2=82000x1+3.0001x2=8.0002(2)行列式D的大小分别为0.0002、0.2,但扰动对结果产生较大变化的数量级相当.D数值较大的原因在于方程组的系数较大.下面讨论这个问题根据文献2中定义:D=∑(-1)tap11ap22⋯apnn令Κ=max(ap11ap22⋯apnn).如果K>>|D|,则可以判定方程组是病态的.此时r(a1,a2,…,an)→1.3.2扰动对方程解的影响令Ν=maxi,j=1,2,⋯,n|aij|,下面将除第aij项的第i行列的其它元素均划简为0,则方程组为[a11⋯a1j⋯a1n⋯⋯⋯⋯⋯0⋯Δaij⋯0⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯anj⋯ann]|x1⋯xi⋯xn|=[b1⋯Δbi⋯bn]其中Μij=[a11⋯a1,j-1a1,j+1⋯a1n⋯⋯ai-1,1⋯ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,nai+1,1⋯ai+1,j-1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋯⋯⋯⋯an1⋯an,j-1an,j+1⋯ann]则D=ΔaijAij=(-1)i+jΔaijMij,若r(a1,a2,…,an)→1,则有Δaij=D(-1)i+jΜi+j→0.则扰动对方程组解的影响与Δaij、Δbi的大小有关,同时考虑N的影响,当N>1时,设扰动数量级满足|ξ|≤10-l|Δaij|/N;当N≤1,设扰动数量级满足|ξ|≤10-l|Δaij|;l为常数,方程组解的结果变化满足精度要求.则有|ξ|≤10-l|DΝ⋅Μij|,Ν>1(3)|ξ|≤10-l|DΜij|,Ν≤1(4)下面我们来讨论分量xi变化情况.如表1所示由表1可以看出,当l≥2时,扰动对方程组解的结果影响就相当小了.对于精度要求更高的情况,则要求l取得更大些.下面就坡度矩阵(亦称Hilbert矩阵)为例来说明.Ηn=[112⋯1/n12⋯1n+1⋯⋯⋯⋯1n1n+1⋯12n