浙江省9+1高中联盟高二上学期期中数学试题

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知直线：，：，，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.在空间直角坐标系中，已知，则中点关于平面的对称点坐标是（）A. B. C. D.5.已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若则C.若则 D.若则6.方程所表示的曲线大致形状为（）A. B.C. D.7.已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（）A.1 B. C.2 D.8.设有一组圆，给出下列四个命题：①存在，使圆与轴相切②存在一条直线与所有的圆均相交③存在一条直线与所有的圆均不相交④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④9.若三棱锥满足，，则该三棱锥可能是（）A. B.C. D.以上选项都不可能10.如图，在棱长为1的正方体中，若点分别为线段，上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线过定点，则点坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.12.某几何体三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知是椭圆上的动点，则的最大值是__________，点到直线的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥中，点在以为直径的圆上运动，平面，，垂足为，，垂足为，若，则__________，三棱锥体积的最大值是__________.15.经过点作圆的切线，则切线的方程为__________．16.已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值为__________．17.已知为坐标原点，分别是椭圆左右焦点，为椭圆的右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线与轴交于点，且，则的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题函数在上有零点.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.19.如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.20.如图，已知三棱锥中，点在上，，，且为正三角形.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.如图，已知圆，圆，过原点的直线与圆，的交点依次是.（1）若，求直线的方程；（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程.22.如图，已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，过线段的中点作的垂线交轴于点.（1）设直线的斜率分别为，若，直线经过椭圆的左焦点，求的值；（2）若，且，求面积的取值范围.2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.【详解】因为直线的斜率为，所以.故选：C.2.已知直线：，：，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.【详解】解：若，则，解得或，即或，所以“”是“或”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，再求椭圆的离心率.【详解】解：因为，所以，则，，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质；利用椭圆方程求、；利用椭圆方程求离心率，是基础题4.在空间直角坐标系中，已知，则的中点关于平面的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由中点坐标公式可得点，再由关于平面对称的点的特征即可得解.【详解】因为，所以的中点，所以点关于平面的对称点坐标是.故选：D.5.已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若则C.若则 D.若则【答案】C【解析】【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.【详解】对于选项A:若，则或,故选项A错误;对于选项B:若则或，故选项B错误;对于选项C:若由面面平行的性质和线面垂直的判定知成立,故选项C正确;对于选项D:若则或或与相交,故选项D错误;故选:C【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.6.方程所表示的曲线大致形状为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作，时的图像，利用对称性即得结果.【详解】由方程可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.，.当，时，方程转化成，作图如下：

再利用对称性即得图像为D.故选：D.【点睛】本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画，部分图像，即突破问题.7.已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义进行转化，即可求解．【详解】由题意，点F为椭圆C：的右焦点，则，左焦点为，圆的圆心坐标为，半径为，可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，又由P为椭圆C与圆的一个交点，根据椭圆的定义可得，所以．故选：B．【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，解题的关键是判断出圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，利用椭圆定义转化求解．8.设有一组圆，给出下列四个命题：①存在，使圆与轴相切②存在一条直线与所有的圆均相交③存在一条直线与所有的圆均不相交④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】取特殊值，圆与轴相切，①正确；利用圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误.【详解】选项①中，当时，圆心，半径，满足与轴相切，正确；选项②③中，圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若在圆上，则，而，若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确.故选：C.【点睛】本题解题关键是发现圆心恒在直线上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可.9.若三棱锥满足，，则该三棱锥可能是（）A. B.C. D.以上选项都不可能【答案】C【解析】【分析】将此三棱锥放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为，由余弦定理可得为锐角三角形，再对选项进行逐一判断.【详解】在三棱锥中，由，将此三棱锥放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为则，，在中，，角为锐角.同理可得均为锐角.则为锐角三角形.选项A：由，为钝角，所以A不正确.选项B:,为直角，故B不正确.选项C:,由余弦定理可得的三个内角均为锐角，则满条件，故C正确,，则D不正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥的性质，解答本题的关键是根据条件将此三棱锥放置入长方体中，在中，，角为锐角，进而为锐角三角形，属于中档题.10.如图，在棱长为1正方体中，若点分别为线段，上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】将平面和平面展开，当重合与点时，连接，，当与重合时，的值最小，即可求解.【详解】由题意，将平面和平面展开，如图所示，其中，当重合与点时，连接，，当与重合时，的值最小，所以的最小值为.故选：B.【点睛】解答此类问题的方法：把折线或曲线的最值问题，通常沿着多面体的棱或旋转体的母线完成平面图形或曲面进行展开，结合平面图形求解.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线过定点，则点的坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】将直线方程化为，令即可求解；设的坐标是，由，解方程即可.【详解】由，则，令，则，，所以点，设坐标是，则，解得，，所以点的坐标是.故答案为：；12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先利用三视图画直观图，即一个三棱锥体和个圆锥组成的几何体，再利用公式求几何体的体积和侧面积即可.【详解】由几何体的三视图可知其直观图为：由一个三棱锥体和个圆锥组成的几何体，如图所示：所以该几何体的体积；中，，故三角形的高为，即几何体的侧面积为，底面面积，故表面积是.故答案为：；.13.已知是椭圆上的动点，则的最大值是__________，点到直线的最小距离是___________.【答案】(1).5(2).【解析】【分析】根据是椭圆上的动点，设，将转化为，利用三角形函数的性质求解；由到直线的距离，利用三角形函数的性质求解.【详解】因为是椭圆上的动点，设，所以，因为，当且仅当取等号，所以，到直线的距离是：，当时，，故答案为：5；14.如图，在三棱锥中，点在以为直径的圆上运动，平面，，垂足为，，垂足为，若，则__________，三棱锥体积的最大值是__________.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】由已知证明，再由三角形相似列比例式可得，进一步得到值；证明，利用基本不等式求得的最大值，可得三棱锥体积的最大值．【详解】由平面，得，又，，平面，得，又，，平面，得，而，，平面，可得．在中，由，得．由，得，则，，；由，，得，又，，得，即（当且仅当时等号成立）．三棱锥体积的最大值是．故答案为：3；．【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理15.经过点作圆的切线，则切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程.【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程，整理得．故答案为：16.已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】首先结合图形的特征，利用异面直线所成角的定义找到其平面角，利用余弦定理求得结果.【详解】因为在三棱柱中，与平行，所以或其补角就直线与所成角，因为三棱柱棱长均为2，所以，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的求解问题，在解题的过程中，关键是找出异面直线所成角的平面角，也可以利用空间向量来解决.17.已知为坐标原点，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线与轴交于点，且，则的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，由轴，设，写出的直线方程，求出与轴的交点的坐标，以及点的坐标，根据，化简得到，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左、右焦点分别为，且，因为轴，不妨设，则直线的方程为，令，可得，所以直线与轴的交点为，又由，所以，化简得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题函数在上有零点.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出命题和命题为真时的取值范围，在根据问题中的情况列出不等式求解.【详解】对于命题，由题可得，解得；对于命题，函数在上有零点等价于在有解，可得，即.（1）若命题是真命题，则，即实数的取值范围为；（2）当真假时，满足，解得，当假真时，满足，解得，综上，.【点睛】关键点睛：本题考查根据命题真假求参数，解题的关键是先求出命题和命题为真时的取值范围，即可列式求解.19.如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，取的中点，连接，通过构造平行四边形，证明；（2）根据二面角的定义，可证明就是二面角的平面角，中，根据边长求角.【详解】证明：（1）取的中点，连接，于是，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而面，面，所以直线平面；（2）连接，∵四边形为菱形，，为的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，平面平面，且平面平面，∴平面，又，∴，∴就是二面角的平面角，设棱长为2，则，∴，∴二面角的大小为.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20.如图，已知三棱锥中，点在上，，，且为正三角形.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连结，，推导出，，从而面，由此能证明．（2）过作于点，则面，即为直线与面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）取中点，连结，由为正三角形可得，又由得，∴面，又∵面，∴；（2）过作于点，由（1）可知，，∴面，∴即为直线与面所成的角，不妨设，则，∴∴所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.21.如图，已知圆，圆，过原点的直线与圆，的交点依次是.（1）若，求直线的方程；（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程.【答案】（1）或；（2）（挖去点和）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为：，结合圆的几何关系和勾股定理，分别求出，再结合代值求解即可；（2）联