西南交通大学高等数学考试试卷

..一、填空题：1．设函数是由所确定，那么．2．设幂级数的收敛区间为，那么幂级数的收敛区间为．3．设函数的付氏级数的和函数为，那么．4．设，其中具有连续的二阶偏导数，那么=．5．设幂级数在处收敛，而在处发散，那么幂级数的收敛域为．6．函数关于的幂级数展开式为．7．设函数，那么8．曲线的切线中，与平面垂直的切线方程是．9．设是由方程为常数所确定的二元函数，那么．10.旋转抛物面的切平面：，平行与平面.11．微分方程的通解为，的通解为．12.曲线在点处的切线方程为3．函数的麦克劳林级数的第5项为，收敛域为.14.．函数〔其中是大于的实数〕,有一个极值点，那么，此时函数的极大值为3.15.试写出求解以下条件极值问题的拉格朗日函数：分解正数为三个正数之和，使的倒数之和最小16函数的麦克劳林级数的收敛域为，-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号。1．二元函数在点处两个偏导数，存在是在该点连续的【D】〔A〕充分条件〔B〕必要条件〔C〕充分必要条件〔D〕既非充分也非必要条件2．函数在点处两个偏导数，存在是在该点可微分的【B】〔A〕充分条件〔B〕必要条件〔C〕充分必要条件〔D〕既非充分也非必要条件3．设是由方程所确定的隐函数，其中是可微函数，为常数，那么必有【A】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．微分方程特解的形式为【C】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．假设级数收敛，那么以下结论正确的选项是【B】〔A〕收敛〔B〕收敛〔C〕收敛〔D〕收敛6．以下级数中条件收敛的是【B】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7．曲面在点处的切平面方程为【C】〔A〕〔B〕(C)(D)8．原点是函数的【C】〔A〕极小值点〔B〕极大值点〔C〕驻点却不是极值点〔D〕非驻点9．以下方程中是一阶线性微分方程是【D】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10．设为常数，那么级数【B】〔A〕绝对收敛〔B〕条件收敛〔C〕发散〔D〕收敛性与有关11.设是函数的全微分，那么其中一个为(A)(B)〔C〕〔D〕12.级数的敛散情况是【C】〔A〕条件收敛〔B〕绝对收敛〔C〕发散〔D〕敛散性不能确定三、计算以下各题：1.设，其中函数具有二阶连续偏导数，求，．解：，.2.设，函数可导，且方程确定了函数，求．【解】因，方程两端对求偏导，得，解得，故。3.求级数的和。【解】考察幂级数，因，所以，当，即时，幂级数绝对收敛。在处，原幂级数成为收敛。故，幂级数的收敛域为，在，设，上式两边对求导，，该式两边从0到积分，得又，因此故4．求原点到曲面的最短距离。【解】设点为曲面上任一点，那么该点与原点距离的平方和为：，只要求距离的平方和最小即可，约束条件：，设由，解得故，原点到曲面的最短距离为：．5．求幂级数的收敛域及和函数。【解】因所以，当，即时，幂级数绝对收敛。在处，原幂级数成为，收敛。故，幂级数的收敛域为在，设，上式两边对求导，上式两边从0到积分，得又，因此6．求幂级数的收敛域及和函数。【解】因所以，半径，幂级数在，即在绝对收敛。在处，原幂级数成为，发散；在处，原幂级数成为，发散。故，幂级数的收敛域为。在，设，那么。在，再设，那么上式两边对求偏导，得因此，7．求微分方程的通解。【解】原方程可化为是一阶线性微分方程。通解为8.一本长方形的书，每页所印文字局部要占150平方厘米，上、下空白处各要留1.5厘米宽，左、右空白处各要留1厘米宽，应用拉格朗日乘数法求每页纸长、宽各为多少时，耗纸最省？解：设每页所印文字局部宽，长为，那么每页纸宽为，长为，每页纸面积为，且构造Lagrange函数令，得，；由实际意义知S最小值存在。故当每页纸宽为12cm，长为18cm时耗纸最省.四、证明以下各题：1．设函数具有连续的偏导数，且满足，试证仅为的函数。【证】设，那么因，所以，故仅为的函数。2．设方程确定了隐函数，其中F具有连续的偏导数，试证．【证】方程两边对求偏导，有解得，方程两边对求偏导，有，解得，于是3．〔1〕验证函数满足微分方程；〔2〕利用〔1〕的结果求幂级数的和函数。【证】〔1〕因，故〔2〕方程是一阶线性微分方程。通解为又，代入通解，得。于是，幂级数的和函数4．设，，均为方程的特解，且常数。求证：为该方程通解。【证】因与是原方程所对应的齐次方程的解又常数，所以与线性无关。于是是齐次方程的通解再由方程解的构造可知方程的通解为即5．设正项数列单调递减，且发散。试判断级数的敛散性，其中。如有确定结论，请给出证明；假设无确定结论，请举例说明。【证】因正项数列单调递减，根据单调有界数列必有极限可得假设，那么与发散相矛盾。故，于是，因此，正项级数收敛。西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学〔一〕填空题1、2345设y那么[]6设y那么[]7设y那么8910设那么1101213选择题：1.函数是〔A〕A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数2.函数的周期是〔B〕A.2 B. C. D.03.〔C〕A.0 B.1 C.2 D.-24.〔B〕A. B.e C.1 D.5.设曲线与直线x=2,y=2的交点为P，那么曲线在P点的切线方程是〔A〕Aex+ey-z=eBex+ey-z=0C2x+y-3z=0D4x-y-4=06.设y那么(C)A. B.C. D.7.在点可导是在点连续的〔A〕A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件8.函数单调减少的区间是〔A〕A. B.C. D.9.曲线的水平渐近线方程为〔D〕A. B. C. D.10.〔A〕A. B.C. D.11.设那么=(D)A. B. C. D.12.当，那么=〔A〕AB1CD013.〔C〕A. B. C. D.14.积分〔D〕A. B.C. D.015.橢球面在点处的切平面是〔C〕A.BC.， D.16.判断级数是(A)A绝对收.B条件收敛.C发散.D以上都不正确.17.设要使在处连续，那么〔D〕A.0 B.1C. D.e18.方程的通解是〔B〕A. B.C. D.19.〔A〕ABCD20.曲面：上任何一点处的切平面各坐标舳上的截距之和等于〔C〕A. B.C. D.西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学〔二〕一、填空124球面在点处的切平面是〔〕；5当，那么6当，那么7幂级数的收敛半径是8幂级数的收敛半径是19幂级数的收敛半径是10函数11函数二、选择题1.函数是〔A〕A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数2.函数的周期是〔B〕A.2 B. C. D.03.〔C〕A.0 B.2 C.1 D.-24.〔B〕A. B.e C.1 D.5.设曲线与直线x=2的交点为P，那么曲线在P点的切线方程是〔A〕A4x-y-4=0Bx+y-1=0C2x+y-3=0D2x-y+2=06.y那么〔B〕A. B.C. D.7.在点可微是在点连续的〔A〕A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件8.函数单调减少的区间是〔C〕A. B.C. D.9.曲线的水平渐近线方程为〔D〕A. B. C. D.10.〔B〕A. B. C. D.11.设那么〔C〕A. B. C. D.12.当,那么〔A〕AB1CD013.〔C〕A. B. C. D.14.广义积分〔D〕A. B.C.发散 D.15.曲面在点(1,2,5)处的切平面方程是〔B〕A.BC.， D.16.判断级数是(A)A绝对收.B条件收敛.C发散.D以上都不正确.17.设要使在处连续，那么〔D〕A.0 B.1C. D.e18.方程的通解是〔C〕A. B.C. D.19.〔A〕ABCD20.设，那么=〔C〕A. B.C. D.西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学〔三〕一、填空题12345设y那么[]6设y那么[]7设y那么8910设那么1101213二、选择题：1.函数是〔A〕A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数2.函数的周期是〔C〕A.2 B. C. D.03.〔B〕A.0 B.1 C.2 D.-24.〔D〕A. B.e C.1 D.5.设曲线与直线的交点为P，那么曲线在P点的切线方程是〔A〕AB4x-y-4=0C2x+y-3=0D2x-y+2=06.y那么〔B〕A. B.C. D.7.在点可微是在点可导的〔C〕A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件8.函数单调增加的区间是〔B〕A. B.C. D.9.曲线的水平渐近线方程为〔D〕A. B. C. D.10.〔B〕A. B. C. D.11.(C)AB2xCD12.当,那么〔D〕AB1C0D13.〔A〕A.0 B. C. D.14.广义积分〔D〕A. B.C.发散 D.15.曲面在点(