第02讲 顶角最大问题与渐近线性质（解析几何）（解析版）

第02讲顶角最大问题与渐近线性质一、顶角最大问题知识与方法在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的角,这两个最大张角有重要的应用,相关结论及证明如下:结论1:已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大.【证明】如图所示,设,,则:,,所以.(当时取等号)由余弦定理得：.当即时取等号,所以当时,的值最小,又因为,所以此时最大.即点为椭圆短轴的端点时最大结论2:已知,为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大.【证明】如图,设,过点作,垂足为,则,,,所以,,则因为，所以又因为，所以当时，取得最大值，此时最大.即当点为椭圆短轴的端点时，最大.典型例题【例1】若P是椭圆x24+y23=1【答案】π【解析】根据椭圆的方程可知:x24+y23=1,所以a=2,b=3故答案为:π3【例2】已知椭圆，是它的两个焦点，点为其上的动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围.【答案】【解析】由结论1知，当点越接近短轴的端点时，越大，所以只要求为直角时点横坐标的值，因为，所以当为直角时，点在圆上，解方程组:x29+y24=1x2+y2=1得:x=±3【例3】已知椭圆x2a2+y2b【答案】【解析】由结论2可知:当点P0为椭圆短轴的端点时,∠AP0B最大，因此只要∠AP0B⩾120故椭圆的离心率的取值范围是e∈【例4】设A,B是椭圆C:x23+y2mA.(0,1]∪[9,+∞) B.C.(0,1]⋃[4,+∞) D.【答案】A【解析】当0<m<3时，椭圆C焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=3,即3m≥3当m>3时，椭圆C焦点在y轴上，要使C上存在点M满，故m足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=m3≥3,得m≥9，故m的取值范围为(强化训练1.已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】由结论1可知：当点为椭圆短轴的端点时，最大，因此只需最大角，即，即，也即，解得故椭圆离心率的取值范围是2.已知P为椭圆x2a2+y2b则椭圆的离心率为_________.【答案】3【解析】当P是椭圆短轴的顶点吋,∠F1PF2取最大值,P为椭圆上任意一点,当∠F1PF2取最大值时的余弦值为故答案为:333.焦点在x轴上的椭圆方程为x2a2+y2=1(a>0),【答案】［2,+∞【解析】因为焦点在x轴上的椭圆方程为x2a2−y2=1(a>0),所以b=1,c2=a2−1,若椭圆上存在点B,使得∠F4.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1⋅A.(0,1) B.(0,12) C.(0,22) D.(【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,∵MF1⋅MF又M点总在椭圆内部,∴该圆内含于椭圆,即c<∴故选C.5.设F1,F2是椭圆C:x23+是（）A.(0,1]∪[12,+∞) B.C.0,34∪[2【答案】D【解析】当0<m<3时,椭圆C:x23+y2m=1的焦点在x轴上，当M位于短轴的端点时，∠F当m>3时,椭圆的焦点在y轴上，当M位于短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使椭圆C上存在点M满足6.已知椭圆C的方程为x24+y2b2(0<b<2)【答案】(−2,2)【解析】由题意得a=2,e=12,所以c=1,则b点P(m,n)在椭圆上,设m=2cos⁡αn=3sin⁡α,则PF1=(−1−2cos⁡α,−3sin⁡α),PA2=(2−2cos⁡α,−3sin⁡故答案为:(−2,2).二、渐近线性质知识与方法有关双曲线的一些结论:结论1:双曲线的焦点到渐近线的距离为b.【证明】如左下图所示,作F2H⊥l1于Hd【说明】如左下图,在Rt△OHF2中,记l1的倾斜角为θ,显然有：渐近线l1的斜率k=tan⁡我们称Rt△结论2:以线段F1F2为直径的圆与双曲线相交,设第一象限的交点为P【证明】tan⁡θ=ba⇒cos⁡yP=|结论3:过双曲线x2a2−y渐近线围成的平行四边形的面积为定值ab2【证明】我们先证明一个引理：若OA=x1证明:S=下面结合引理来证明结论3.依题意可设Ex1,即Px1+x2则S△EOF=结论4:过双曲线x2a2−yBx2,(1)点P是线段AB的中点,即|PA(2)渐近三角形的面积为定值,即S△典型例题【例1】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,【答案】2【解析】解法1:如图,由两条渐近线的对称性可得:∠BOF2=∠AOF1;由F1B⋅F2B=0⇒F1B⊥解法2:易求得B(a,b),又因为A为F1与B的中点,可得【例2】(多选）过双曲线C:x2a2−y2b2=1(aA.62 B.3 C.362【答案】AB【解析】由点到直线的距离,易得F2情形1:如左图所示,|OA|=a由角平分线定理,得|OB在Rt△AOB中,|OB情形2:如右图所示,F2由△AOM∼△BON在Rt△AOB中,|OB综上所述:选AB.【例3】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为AA.3 B.2 C.2 D.5【答案】B.【解析】解法1:由RF1⊥RF所以kRF1=ba+c,设M(m(1)除以(2)得m−am(1)除以(3)得m+将m=a3c2解法2:由RF1⊥RF2,得|OR延长RA,与OQ交于点R',则R'(又M为QR的中点,即MA是△RQR'则MA//QR'//RF2,所以强化训练1.已知双曲线C:x23−y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过点A.32 B.3 C.23【答案】B【解析】两渐近线的斜率k=±33,所以∠MOF=2.设F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(A.5 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】如图,在△POF2中,PF2=b,OP=a,OF2=c,所以cos⁡∠3.已知坐标平面xOy中,点F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点,点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线A.2 B.3 C.5 D.5【答案】C【解析】因为I为△OMF2的外心,D为M又O,I,又OD//MF易得F2到OD的距离为b,即DF2又OD⊥M由双曲线的定义可得:MF2−M所以e故选C.4.已知双曲线x2a2−y2b的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A.(1,2) B.(1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞)【答案】A【解析】曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y5.已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,OA.324 B.334 C.【答案】A【解析】易得|PF|=b又|OQ|2+|OF故c=6.双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F作x轴垂线交E于点A,过F作与E【答案】23【解析】易得A−c,b2a,又直线FB方程为y=ba(x+c),与双曲线方程联立得B−7.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,A.y=±12x B.y=±x【答案】A【解析】易求F2P=故Ac−b238.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点P,经过点P的直线与双曲线CA.329 B.169 C.89【答案】A【解析】设Am由△AOB的面积为2b得2b设P(x,y),由代入双曲线方程得(2m+n所以2a=9.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2A.x2−yC.x2−y2【答案】A【解析】∵P又∵F1(−c,0),∴焦点到渐近线的距离为|±bc|a2+b2不妨设直线OQ为:y=bax,∵F1Q⊥OQ,∴点F1(−c,0),Q10.已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点,若双曲线左支上存在一点P【答案】B【解析】由题意