我微积分下册

设函数zfxy)在点x0y0的某邻域内若满足不等式fx,y)fx0y0，则称函数在x0y0)有极大值；若满足不等式fxyfx0y0，则称函数在x0y0有极例1例1z3x24在(0,0)例2zx2 函数z 设f(x)在点x0处具有导数,在x处取得极值,fx定义使导数为零的点(fx0的实根)叫做函数fx的驻点.zfxy)在点x0y0)具有偏导数，且在点x0y0)处有极值，则它在该点的偏导数必fxx0y00,fyx0y00.证不妨设zfx,y)在点x0y0处有极大值x,y)x0,y0)fx,yfx0y0yy0xx0fx,y0fx0y0fxy0在xx0处有极大值必有fxx0y00类似地可证fyx0y00如果三元函数ufxyz)在点Px0y0z0)fx(x0,y0,z0) fy(x0,y0,z0)fz(x0,y0,z0)注意：例如,点(0,0)是函数zxy的驻点，但不是极值点定理2（充分条件）又fx(x0,y0) fy(x0,y0)fxxx0y0Afxyx0y0B,fyy(x0,y0)C,ACB20时可能有极值,也可能没有极值，例4例4zx3y33xy在点(0,0)处A0,B3CACB290,故点(0,0不是极值点(1,1)处,A6B3,CACB2270,A60(1,1)处取得极小值，且f(1,1)5求由方程x2y2z22x24z100确定的函数zfxy)解将方程两边分别对xy2x2zzx24zx2y2zzy24zy由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,1),将上方程组再分别对x,y求偏导数,xxxxxyyy故ACB2(20,(z2),函数在P有极值将P(1,1)代入原方程,有z1 z2当z2A所以zf(1,1)24所以zf(1,1)6为极大值当z26A1x2y2z22x2y4z10 z x2y2,因此在考虑函数的极值问题时除了考虑函数的驻点外如果有偏导数不存在的点那么对这第一步解方程 fx(x,y)0,fy(x,y)第二步对于每一个驻点x0y0求出二阶偏导数的值A、B、第三步定出ACB2的符号，再判定是否是极值设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)66求二元函数zfxyx2y(4xy)在直线xy6x轴和y轴所围成的闭区域D解如图oxfx(x,y)2xy(4xy)x2yf(x,y)x(4xy)xy得区域D内唯一驻点 且f(2,1)4再求f(x,y)在D边界上的最值，x0y0fxy0,在边界x在边界xy6y6fx,yx2(6由f4x(x6)2x2 x得x10,x24y6x|x4f(2,14为最大值f(4,264为最小值例7求z xy x2y21解由zx(x2y21)2x(xy)(x2y2zy(xy1)2y(x(x2y2 11 x 0z(1,1)1xx2y2 z(1,1)1 1122例8例8某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长此水箱所用材料的面积A2xyy2x2 x解这个方程组，得x32,y3又函数在D内只有唯一的驻点(3232因此可断定当x32,y32A故当水箱的长为3 宽为3高为3232,A1(242x2x 242x)x24xsin2x2sinx2cos(D:0x12,02x 24A24xsin2x2sinx2cos(D:0x12,0 Ax24sin4xsin2xsincosA24xcos2xcosx2(cos2sin)sin0,x122xxcos24cos2xcosx(cos2sin2) 60,x8一个驻点,故此点即为所求.且limfxyxy1,x0(x2y2200元钱，他决定用来购买两Uxylnxlny．设每张磁Uxylnxlny在条件8x10y200下的极值点．求目标函数：ufx1x2,xn)(k1,2,m,mn)下的极值.如k1,求zfxy)xy0下的极值如k2,ufx,yz)(x,y,z)xyz下的极值例如求函数zx2y2在条件xy10下的极值由条件xy10解出y1代入zx2y2zx2(1 设函数zfxy)在点x0y0处取得满足条件(x,y)0的极值,则应有定理，方程xy0确定一个单值可导且具有连续导数的函数yy(x),代入zfx,y)zf(x,y(于是问题转化为求函数zfx,yx))的无条件极值f(x,y)f(x,y)dx (x,yf(x,y)f(x,y)x0x0yx00y0x(x0,y0)y(x0,y0x00y0x(x0,y0)y(x0,y0x00y00于是得到函数zfxy)在约束条件xy(x0,y0)f(x,y)(x,y)Fxyfxyxy)的两个一阶偏导数在x0y0)的值.函数F(x,y)称为拉格朗日函数,参数称为拉格朗日乘数,要找函数要找函数zfx,y)在条件x,y0下的先构造函数Fxyfxyxy)，其中为某一常数，可由f(x,y)(x,y)(x,y)解出xy，其中xy就是可能的极值点的坐标fx(x,y)x(x,y)要找函数要找函数uf(x,y,zt)在条件(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)先构造函数Fxyztfxyztux3y2z为最大解令Fxyzx3y2zxyzFx3x2y2zF23yzFx3y2 xyz解得唯一解x6,y4z故最大值为umax63422 x2y2z2的解设Px0y0z0为椭球面上一点令F(x,y,z) 则Fx|P 20，Fy|P0，Fz|Paa2(xx)b2(yy)c2(zz)xyx y化简为a20b20z0x ，y ，z 所围四面体的体积V xyzabc在条件0在条件0 001V的最小值ulnx0lny0lnz0lnxlnylnz 00 由0 xx3 y z03c322020( 四面体的体积最小Vmin2abc例12例12平面xyz12zx2y2其截口是一个椭圆求截口椭圆上的最高点和最低点.uf(x,y,z)g(x,y,z)xyz12h(x,y,z)x2y2zF(x,y,z)f(x,y,z)g(x,y,z)h(x,y,z(xyz12)(x2y2Fx2x令F2yF1xyz12x2y2zz从（1）0,则0,于是将与（3）矛盾所以0,因而得到：2x2yx再代入（5）得z2x2然后由（4）2x22x12即x2x60,即得x3,x于是因xyz2x2P13,3,18P2不是不是.例如fx,yx2y当x0f(0,yy2在(0,0)取极大值;y0fx,0)x2在(0,0)取极小值;但fx,y)x2y2在(0,0)不取极值.1、函数f(x,y)(6xx2)(4yy2)在点取 值为.2、函数zxy在附加条件xy1下的极 3、方程x2y2z22x4y6z20所确