基本不等式（原卷版）

2.2基本不等式【考点梳理】考点一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．考点二：用基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值应注意x，y是正数；(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【题型归纳】题型一：基本不等式的内容及其注意1．（2021·高一）三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（

）A．如果a>b，b>c，那么a>c；B．如果a>b>0，那么a2C．对任意实数a和b，有a2+bD．如果a>b，c>0那么ac>bc．2．（2022·全国·高一专题练习）已知a，b为实数，且a⋅b≠0，则下列命题错误的是（A．若a>0,b>0，则a+b2=C．若a≠b，则a+b2>ab D．若3．（2021秋·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A．a+b2≥ab B．a+1a=2 C．ba题型二：由基本不等式比较不等式的大小4．（2023·全国·高一专题练习）设0<a<b，则下列不等式成立的是（

）A．ab<a+bC．ab<a<a+b5．（2023·全国·高一专题练习）如果0<a<b，那么下列不等式正确的是（

）A．ab<a+bC．ab<a<a+b6．（2022秋·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知a>b>0，则（

）A．ac2C．a-1b题型三：基本不等式求积的最大值7．（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<2，则y=2x4-x2A．2 B．4 C．5 D．68．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0,b>0,a+4b=2，则ab的最大值为（

）A．14 B．19．（2022秋·海南·高一校考期中）已知0<x<1，代数式2x1-x的最大值为（

A．22 B．2 C．2 D．题型四：基本不等式求和的最小值10．（2023·全国·高一专题练习）函数fx=x+1A．22 B．22+2 C．11．（2023秋·高一课时练习）若x>1，则y=xA．3 B．－3C．4 D．－412．（2023·全国·高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（

）A．若a,b∈R，则B．若x∈R+，则由x+1C．若x∈R-D．若xy=1，则x题型五：二次商式的最值问题13．（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2-5x+3A．-1 B．3 C．6 D．1214．（2021秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则y=-2x2A．1 B．42 C．-4215．（2023秋·高一单元测试）函数fx=xA．2 B．74 C．54题型六：基本不等式“1”的妙用16．（2023·全国·高一专题练习）已知x+y=1,y>0,x>0，则12x+xA．54 B．0 C．1 D．17．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．18．（2023秋·全国·高一专题练习）设a,b为正实数，且a+b=10ab，则a+9b的最小值为（

）A．65 B．1310 C．8题型七：基本不等式的恒成立求参数问题19．（2023·全国·高一专题练习）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y-m=0A．447 B．275 C．1420．（2022秋·江西南昌·高一校考期中）已知x>0,y>0，且1x+2+1y=23A．-4,6 B．-3,0 C．-4,1 D．1,321．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+A．94 B．32 C．2题型八：对勾函数最值问题22．（2023秋·江苏扬州·高一期末）函数f(x)=1x+1+A．76 B．87 C．923．（2021秋·山东青岛·高一青岛三十九中校考期中）若?x?4,6使得不等式x+4x-3-a<0成立，则实数A．a>7 B．a<7 C．a>5 D．a>24．（2022秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（

）A．若0<x<13，则xB．函数y=xC．已知x+y=1,x>0,y>0，则12x+D．若正数x,y满足x2+xy-2=0，则题型九：基本不等式的实际问题的应用25．（2023·全国·高一专题练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（

）A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米26．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=3,c=1，则此三角形面积的最大值为（

A．2 B．53 C．15 D．27．（2023秋·高一单元测试）某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（

）．A．36平方米 B．48平方米C．64平方米 D．72平方米题型十：基本不等式的综合应用28．（2022秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习）（1）已知x>0,y>0，且x+4y=4，求1x（2）已知a,b,c∈R*，且a+b+c=129．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知a>0,b>0,2a+b=2.(1)求ba+1b的最小值；(2)求130．（2023秋·高一）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．【双基达标】一、单选题31．（2023·全国·高一专题练习）若x>0,则fx=4x+9A．4 B．9 C．12 D．2132．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）设a>0,b>0，且2a+b=2，则1aA．有最小值为2 B．有最小值为2C．有最小值为2+33．（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）下列结论正确的是（

）A．设a>0，则a3+1a2的最小值是2aC．当x>0时，x+1x≥2 D．当34．（2023秋·新疆·高一校联考期末）设x>0,xy+y=4，则z=3x+y+2的最小值为（

）A．43-1C．4235．（2023春·河南许昌·高一校考期中）若x?1,3，则4x+A．1 B．2 C．3 D．436．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值(1)已知x>1，求fx(2)已知x>0,y>0，且满足8x+137．（2023秋·高一课时练习）（1）当x>0时，求12x（2）当x<0时，求12x（3）已知4x+ax(x>0，a>0)在x=3时取得最小值，求38．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1【高分突破】一、单选题39．（2023春·云南·高一校考）已知a>-2，b>0，a+2b=3，则2a+b+4a+2+5A．4 B．6 C．8 D．1040．（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（

）A．若a>b>0，则aB．若a<b<0，则a+C．若0<a<b<c，则bD．若a>0,b>0，则b41．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）若x，y，z均为正实数，则A．32 B．22 C．142．（2023·高一课时练习）已知x>0,y>0，且a+b=x+y,cd=xy，则(a+b)2A．0 B．1 C．2 D．443．（2023·全国·高一专题练习）若对x>0，y>0，有(x+2y)⋅(2x+A．m≤4 B．m>4C．m<0 D．m≤8二、多选题44．（2023秋·高一课时练习）若a>0,b>0，且a+b=4，则下列结论不正确的是（）A．1ab=C．ab=2 D．45．（2023·江苏·高一专题练习）下列结论中，所有正确的结论是（

）A．当x>0时，xB．若a<b时，aC．若x<y<z，x+y+z=0，则xz>yzD．当x>-4时，y=x+1x+446．（2023·江苏·高一专题练习）已知x>0，y>0，且x+2y+xy=6，则（

）A．xy的最大值为2B．x+y的最小值为4C．1x+2+D．x+2247．（2023秋·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，下列命题中正确的是（

）A．若ab-a-2b=0，则a+2b≥8B．若a+b=2，则bC．若a+b=1，则2a+4D．若1a+1+48．（2023·全国·高一专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．若xy>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为8B．若x<-3，则函数y=x+1x+3C．已知正数a，b满足ab=a+b，则1D．已知a>0，b>0，且a2+b=149．（2022秋·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（

）A．当x≥0时，x+1+1x+1=2C．x+1x的最小值为2 D．三、填空题50．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数m，n满足1m+8n=451．（2023·全国·高一专题练习）函数y=x5-2x0<x<2的最大值是52．（2023秋·高一课时练习）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为y=12x53．（2023秋·高一课时练习）下列不等式的推导过程正确的是．①若x>1，则x+1②若x<0，则x+4③若a,b∈R，则ba四、解答题54．（2023·全国·高一专题）（1）当x>3时，求函数y=x+8（2）当x<32时，求函数（3）当x>-1时，求函数y=x（4）当x>-1时，求函数y=x（5）设x>-1，求函数y=x+5（6）①当x>32时，求函数②求函数y=x55．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a,b,c满足a+b+c=1,，求证:(1)3a+1+(2)2