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1设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1f(0)试证至少存在一点ab)使得f(2f1分析：把要证的式子中的x，整理得f(xxf(x2f(x)由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]这时要构造的函数就看出来了F(x)1xf(xf例2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(af(b0，又g(x)在[a,b]上连续求证：(a,b)使得f()g()f()f(x)g(x

lnf(x)

g(x)dxlnCf(x)

g(xf(x)eg(x)dxC现在设C0F(x)f(x)eg(x对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x的函数）可引进函数u(x)epdx，则可构造新函数F(x)fepdx)求证：存在(ab)，使得f()

f()fbf()f(a)bf()f(a)] f(f(a0，这样就变成了fpfba

—1 — 引进函数u(x) ba＝eba（令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f注：此题在证明时会用到f(c)f(bf(a)0b

f(bf(a)例3设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)证明至少存在一点(a,b)使得bf(baf(a)f(fbF()f()f()bf(b)afb例4设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c ex1

ex

f

fex1ex2f

( (f(x2ex1f(x)ex2f(x分析：先整理一下要的式 1f(c)fex1exf(x2)fex1ex

老陈的书里讲了一个方法叫做k值法ex1f(x)ex2f(x 1k整理得eex1ex2

1[f(x1)k] 2[f(x2)那么进入第二步，设F(xex[f(xk]，验证可知F(x1F(x23、所证试同时出现ξ和例5f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(af(b容易看出e[f(f([ef()]，设F(x)exf(x)

()

ebf(b)eafb

eb eb e[f()f()]

b

b

与

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