深圳市XX中学必修五第三章《不等式》测试卷(答案解析)

一、选择题1．若正数，满足，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．若正实数a，b满足lga＋lgb＝1，则的最小值为（）A． B．2 C． D．23．已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．4．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B． C．1 D．5．若正实数满足，则的最小值为（）A．2 B．1 C． D．26．在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（）A．9 B． C． D．27．已知，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．109．已知实数满足不等式组,若目标函数的最大值不超过4,则实数m的取值范围是A． B． C． D．[10．已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．下列函数中，最小值为4的是（）A． B．C． D．12．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知正数，满足，则的最小值是________．14．若实数和满足，则的取值范围为______．15．若关于的不等式和的解集分别为和,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式和不等式为“对偶不等式”,且,则______.16．已知实数，满足则函数的最大值为__________．17．已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是__________.18．设，满足约束条件则的最小值为__________．19．设、满足约束条件，则的最大值是__________．20．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．三、解答题21．设函数．（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若，求的最小值．22．已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为真，为假，求的取值范围．23．已知实数，满足不等式组，求目标函数的最值及相应的最优解．24．已知是偶函数，是奇函数，且.（1）求和的解析式；（2）设（其中），解不等式.25．已知函数.（1）若的定义域为，求实数的值；（2）若的定义域为，求实数的取值范围.26．已知函数．（1）若不等式的解集为，求m，n;（2）设，且，求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由，对乘以，构造均值不等式求最值.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，∴.故选：D【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．D解析：D【分析】应用对数运算得到，由目标式结合基本不等式有即可求其最小值.【详解】∵，即，∴，而，∴当且仅当时等号成立.∴的最小值为2.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．D解析：D【分析】根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立，所以，又因为，使得成立，所以，所以，即，所以，当且仅当时取得最小值.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．A解析：A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.5．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．6．B解析：B【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．7．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比较α、β的系数，得，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．8．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法9．D解析：D【分析】将化为,作出可行域和目标函数基准直线(如图所示),当直线将左上方平移时,直线在轴上的截距增大,由图象,得当直线过点时,取得最大值,联立,得,则,解得;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.10．C解析：C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知，当时，，当时，，故取值范围是.考点：线性规划.11．C解析：C【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断.【详解】A项，没有最值，故A项错误；B项，令，则，，由于函数在上是减函数，所以，故B项错误；C项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故C项正确；D项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故D项错误．故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.12．C解析：C【分析】由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），则[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9【分析】由已知结合基本不等式，即可直接求解．【详解】，为正实数，，当且仅当时取等号，，，即解得：或（舍去），，当且仅当时取等号，即的最小值是9．故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已知条件转换成关于的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：.【分析】设，方程化简为，得到，再结合基本不等式，得到，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【详解】设，因为，可得，所以，解得或，又由，当且仅当时，即时等号成立，整理得，解得，所以，即则的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：设，利用换元法把方程化简为，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式和是解答的关键.15．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案解析：【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得，，，，化简得，即可得解.【详解】设不等式和不等式的解集分别为和，则，为方程的两个根，，为方程的两个根，由韦达定理得，，，，所以即，又，所以，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.16．【解析】作出不等式所表示的平面区域如图所示由得作出直线并平移由图象可知当直线经过点时纵截距最小此时最大联立得即故解析：【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图所示，由得，作出直线，并平移，由图象可知，当直线经过点时，纵截距最小，此时最大，联立，得，即，故．17．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：【分析】作出可行域.根据投影的定义得，数形结合求出的取值范围，即求z的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示.，∴当时，；当时，，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.18．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经解析：2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.19．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，结合图象即可求解的最大值．【详解】作出、满足约束条件表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过时，最大由可得，此时．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中的几何意义．属于中档题.20．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为，，与，所以，时取等号，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．三、解答题21．（1）；（2）．【分析】（1）由不等式的解集．，是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；（2）由，得到，将所求变形为展开，利用基本不等式求最小值．【详解】解：（1）∵的解集为，是的两根，．（2）由于，，，则可知，得，所以，当且仅当且，即时成立，所以的最小值为.【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．（1）；（2）．【分析】（1）由为真命题，若，只需恒成立，即可求的取值范围；（2）若为真时，结合已知条件：讨论真假、假真，分别求得的范围，取并集即可.【详解】解：（1）对任意，不等式恒成立，令，则，当时，，即，解得．因此，当为真命题时，的取值范围是．（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，．又∵，中一个是真命题，一个是假命题．当真假时，由，得；当假真时，有或，且，得．综上所述，的取值范围为．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.23．在时，取得最小值，在时，取得最大值．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），由得，由得，由得，作直线，向上平移直线，减小，当过点时，取得最小值；向下平移直线，增大，当过点时，取得最大值；所以目标函数在时，取得最小值，在时，取得最大值．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．24．(1)，；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）即，讨论当当时，即，对应方程的两个根为，，比较与-3的大小，进行讨论；试题（1）由题意，即，又联立得，.（2）由题意不等